Relación entre longitud de acordes y el radio del círculo

Question

Dos cuerdas de un círculo, de longitudes $2a$ y $2b$ son mutuamente perpendiculares. Si la distancia del punto en el que los acordes se entrecruzan, desde el centro del círculo es $c$($c

Answer 1

Otro enfoque similar puede ser presentado como siguiendo: ${}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}$

Answer 2

Sea $a'$, $b'$ las longitudes de las perpendiculares de $M$ al acorde de longitud $2a$, y $2b$. Entonces $$c^2=a'^2+b'^2=(r^2-a^2)+(r^2-b^2)\ , de los cuales obtenemos %#% $ #%

Answer 3

Dibuja un círculo a través de la c. Supongamos que los acordes son paralelos a la x y eje y y que los puntos a y b mentira en un gran círculo y el % de líneas $x=a$y $y=b$ Cruz en $A, B$

Entonces tenemos la ecuación que $A^2+B^2=C^2$ para el cruce, que da a estas líneas y desde allí $A^2 + b^2 = a^2 + B^2 = R^2$, que conduce a la ecuación de $a^2+b^2+c^2 = 2R^2$.

Respuesta: $R^2 = (a^2+b^2+c^2)/2$

Answer 4

Deje $P$ ser el punto donde los dos acordes (y de diámetro) se encuentran. Deje $h$ (e $k$) sea la distancia de $P$ hacia el punto medio de la $2a$ acorde (respectivamente, el $2b$ acorde); es decir, decir $P$ divide la cuerda en sub-segmentos de longitud $a+h$ $a-h$ (respectivamente, $b+k$$b-k$). Tenga en cuenta que $P$ divide un diámetro en sub-segmentos de longitud $r+c$ $r-c$ (donde $r$ es el radio del círculo); tenga en cuenta también que $c$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con las piernas $h$$k$: así, $c^2 = h^2 + k^2$.

La Potencia de un Punto de principio dice que en cada acorde, a través de un punto particular de un círculo se divide en sub-segmentos tales que el producto de las longitudes de los sub-segmentos es una constante (el llamado "poder" del punto en cuestión). Por lo tanto,

$$(a+h)(a-h) = (b+k)(b-k) = (r+c)(r-c)$$

Más sucintamente,

$$a^2 - h^2 \;\;=\;\; b^2 - k^2 \;\;=\;\; r^2 - c^2$$

Con un ojo hacia la combinación de una $h^2$$k^2$, voy a añadir el de la mano izquierda y el "medio-mano" lados juntos; su suma es necesariamente el doble de la mano derecha:

$$\begin{align} ( a^2 - h^2 ) + ( b^2 - k^2 ) &= 2 (r^2 - c^2) \\ \implies a^2 + b^2 - ( h^2 + k^2 ) &= 2 r^2 - 2 c^2 \\ \implies a^2 + b^2 - c^2 &= 2 r^2 - 2 c^2 \\ \implies a^2 + b^2 + c^2 &= 2 r^2 \end{align}$$