Ley límite de las variables aleatorias independientes de valor real

Question

Dejemos que $X_n$ y $Y_n$ sean r.vs independientes de valor real, cada una de cuyas leyes límite es $X$ e Y, respectivamente.

es decir $X_n \overset{d}{\to} X$ y $Y_n \overset{d}{\to} Y$ para algunos r.vs $X$ y $Y$ .

Entonces, ¿son $X$ y $Y$ ¿también es independiente?

No creo que se sostenga, pero con el lema de abajo, lo logro, lo cual me sorprende.

Lema. $X_{1}, \cdots, X_{n}$ son independientes si y sólo si $$ \Bbb{E}[ f_{1}(X_{1})\cdots f_{n}(X_{n}) ] = \Bbb{E} f_{1}(X_{1}) \cdots \Bbb{E} f_{n}(X_{n})$$ para cualquier función continua acotada $f_{1}, \cdots, f_{n}$ .

Por lo tanto, me pregunto si existe tal resultado.

Cualquiera, cualquier comentario sería útil. Gracias de antemano.

Answer 1

Entonces, ¿son $X$ y $Y$ ¿también es independiente?

Por supuesto que no, considere alguna variable aleatoria no degenerada $X$ , secuencias independientes $(X_n)$ y $(Y_n)$ i.i.d. distribuido como $X$ y $Y=X$ .

Cómo pensabas aplicar el lema es un misterio.

Answer 2

Debería dejar esto como comentario pero no tengo suficientes puntos. Supongo que $\forall (m,n) \in \mathbb{N}^2$ , $X_n \perp Y_m$ .

Puedes utilizar las propiedades de la función característica de la pareja $(X_n, Y_m)$ y el teorema de continuidad de Levy. (Sugiero trabajar con la función característica porque es continua, por lo que es limpio no preocuparse por el tratamiento de los puntos de discontinuidad).