Prueba de convergencia de $\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x^6+6}{x^8+8}dx$

Question

Estoy teniendo algunos problemas con este problema y no sé si lo estoy haciendo bien:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x^6+6}{x^8+8}dx$$

así que los pasos que he tomado hasta ahora son, que dividido en

$$\int0^\infty \dfrac{x^6+6}{x^8+8} + \int{-\infty}^0 \dfrac{x^6+6}{x^8+8}$$

para la segunda integral que hice un cambio de variable $x = -u$

así que mira iguales que la primera integral y luego usar $$ \lim_{x\to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}$$ where $g(x) = \dfrac1{x^2}$.

Me pregunto si mi planteamiento es correcto.

Answer 1

Su enfoque está bien, siempre y cuando se compara con $1/x^2$ al $|x|\gt1$ y, a continuación, utilizar la continuidad de $\frac{x^6+6}{x^8+8}$$|x|\le1$. Podemos ilustrar esto con un poco diferentes en función de comparación.

En primer lugar, tenga en cuenta que $$ \lim_{|x|\to\infty}\frac{(x^6+6)(x^2+1)}{x^8+8}=1\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, $(1)$ dice que hay un $m$, de modo que si $|x|\ge m$,$\frac{(x^6+6)(x^2+1)}{x^8+8}\le2$. Desde $\frac{(x^6+6)(x^2+1)}{x^8+8}$ es continua en el conjunto compacto $[-m,m]$, está delimitada allí. Por lo tanto, hay un $M$, de modo que $$ \frac{(x^6+6)(x^2+1)}{x^8+8}\le M\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $$ \frac{x^6+6}{x^8+8}\le\frac{M}{1+x^2}\etiqueta{3} $$ Ahora, simplemente uso $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\pi\etiqueta{4} $$ para mostrar que $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{x^6+6}{x^8+8}\,\mathrm{d}x\etiqueta{5} $$ converge en comparación.

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Aunque esta respuesta se utiliza el contorno de integración, se da el valor para $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{x^6+6}{x^8+8}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{8}\csc\left(\frac{\pi}{8}\right)\left(2^{5/8}+3\cdot2^{-5/8}\right)\tag{6} $$