¿Cómo abordar esta pregunta del examen de fasores con los parámetros del generador y las corrientes dadas?

Question

Tengo un problema para entender cómo funcionan los fasores y voy a utilizar un problema de un examen reciente para ilustrar el malentendido.

Nota : Las variables subrayadas, como \$\underline{V}\$ se consideran aquí números complejos, mientras que los no subrayados se consideran magnitudes de los números complejos.

Este es el texto:

Tenemos un generador de tensión \$E=2\sqrt{7} \mbox{ } V\$ con frecuencia angular \$\omega=10^6 \mbox{ } s^{-1}\$ y la resistencia interna \$R_g=0.5\sqrt{3} \mbox{ } k\Omega\$ conectado a la conexión en paralelo de la impedancia \$Z\$ y bobina \$L\$ . La corriente es \$I=I_1=I_2=4 \mbox{ } mA\$ .

Calcular el valor complejo de \$\underline{Z}\$ y la inductividad de \$L\$ .

Aquí está la imagen del circuito:

Por la teoría de los fasores sé que representan números complejos en forma de \$ \underline{I}=I_e e^{j\psi_0}\$ , donde \$I_e\$ es el valor efectivo de la corriente y \$\psi_0\$ si la fase inicial de la corriente. Por lo tanto, en el fasor, la línea sería de longitud \$I_e\$ y tienen un ángulo \$\psi_0\$ al eje de fase.

A continuación, sé que en una línea que sólo tiene una resistencia la tensión y la corriente están en fase y en el fasor, estarían en una misma línea. Si tenemos una línea que tiene un inductor, la corriente se retrasará con respecto a la tensión en \$ \frac{\Pi}{2}\$ . Si tenemos un condensador, entonces la corriente estará delante de la tensión por \$ \frac{\Pi}{2}\$ .

A continuación, las corrientes fasoriales de un circuito deben formar una figura cerrada.

Si no tenemos ninguna fase inicial en un circuito, podemos poner la fase de un elemento en

cero, proclamarla fase de referencia y calcular el resto de las fases con respecto a ella.

Entonces, según mi razonamiento, puedo poner la fase del generador a cero y obtener \$ \underline{E}=2\sqrt{7} e^{j0}\mbox{ } V\$ y ahora tengo la tensión compleja.

A continuación, conozco la corriente efectiva \$I\$ y la resistencia de \$ R_g\$ Así puedo calcular la caída de tensión a través de la resistencia y así obtener la tensión que la impedancia \$Z\$ y la inductancia \$L\$ ver. Así que \$R_gI=2\sqrt{3}\mbox{ }V\$ y la impedancia y la inductancia ven la tensión de \$U_1=\sqrt{7} \mbox{ }V\$ . A continuación, como la resistencia es en este caso ideal, el \$U_1\$ está en fase con \$E\$ .

A continuación, sé que la corriente \$I_1\$ se puede obtener mediante la siguiente ecuación \$ \underline{I}_1=\frac {\underline{U_1}}{\underline{Z}}=\frac{U_1 e^{j0}}{Ze^{j\phi}}=\frac{U_1}{Z}e^{0-\phi}\$ A partir de esto puedo obtener el \$Z\$ .

A continuación, sé que la impedancia \$\underline{Z_l}\$ de la línea en la que está el inductor es \$\underline{Z_l}=j\omega L\$ y sé que \$\underline{I_2}=\frac{\underline{U_1}}{\underline{Z_l}}=\frac{U_1 e^{j0}}{\omega L e^{\frac{\Pi}{2}}}=\frac{U_1} {\omega L} e^{0- \frac{\Pi}{2}}= \frac{U_1} {\omega L} e^{- \frac{\Pi}{2}}\$ De aquí puedo sacar la L.

Para las corrientes \$ I_1\$ y \$I_2\$ para tener el mismo valor efectivo el \$\phi\$ necesita ser \$ \frac{Pi}{2}\$ y la impedancia \$ Z\$ tiene que ser mayoritariamente capacitiva. En este caso la corriente \$I\$ debe estar en fase con la tensión \$ E\$ pero no lo es porque si lo fuera, el valor efectivo estaría determinado por la resistencia \$R_g\$ y sería diferente.

Así que como las dos corrientes que salen de la corriente \$I\$ tienen el mismo valor efectivo, llegué a la conclusión de que las tres corrientes tienen que formar un triángulo con lados de la misma longitud, como en esta imagen:

En ese caso, el ángulo de una de las corrientes debe ser \$\frac {\Pi} {3} \$ y en la otra corriente tiene que ser \$-\frac {\Pi} {3} \$ . En ese caso, la corriente \$\underline{I}\$ está en fase con la tensión \$\underline{U_1}\$ y \$\underline{I_2}\$ se retrasa en \$ \frac {\Pi}{3}\$ mientras que el \$\underline{I_1}\$ se ha movido hacia adelante por \$ \frac {\Pi}{3}\$ . Sin embargo, en ese caso la corriente \$ \underline{I_2}\$ no se queda atrás por \$ \frac {\Pi}{2}\$ lo que debería porque el único componente en su rama es un inductor.

Así que mi problema es que tengo un montón de reglas y no puedo determinar cuándo se debe aplicar el suero, como he demostrado.

¿Puede alguien explicarme en qué se equivoca mi razonamiento? Por ejemplo, en la rama de los inductores, ¿en qué casos la corriente irá por detrás de la tensión en \$ \frac {\Pi}{2}\$ y en el que por algún otro número? ¿Cuándo puedo confiar en que la tensión y la corriente en una rama puramente resistiva estén en fase? Según la ley de Kirchhoff la suma de las corrientes en un nodo debería ser cero, por lo que en un fasor las corrientes para ese nodo deberían formar una figura cerrada pero en este caso no lo hacen.

En mis libros esto no se explica claramente y la mayoría de los problemas que tenemos en las colecciones de problemas no tienen soluciones detalladas.

Las soluciones correctas para este problema específico son \$\underline{Z}=250(\sqrt{3}-j) \mbox{ } \Omega\$ y \$L=0.5 \mbox{ } mH\$

Answer 1

Me rindo. No puedo resolver el problema planteado, creo que se necesita más información que la que figura en el enunciado del problema, y no lo diría si no hubiera estado trabajando en él y hubiera llegado a este punto. Para empezar, el problema es el siguiente.

Tenemos un generador de tensión \$E=2\sqrt{7} \mbox{ } V\$ con frecuencia angular \$\omega=10^6 \mbox{ } s^{-1}\$ y la resistencia interna \$R_g=0.5\sqrt{3} \mbox{ } k\Omega\$ conectado a la conexión en paralelo de la impedancia \$Z\$ y bobina \$L\$ . La corriente es \$I=I_1=I_2=4 \mbox{ } mA\$ . Calcular el valor complejo de \$\underline{Z}\$ y la inductividad de \$L\$ .

Mi afirmación es que esto no tiene solución. Debo una pequeña explicación para mi afirmación antes de cambiar el problema y resolver algo diferente. Básicamente, el hecho de que \$\underline{Z}\$ y \$L\$ son desconocidos da 3 incógnitas. Si se combina con el factor de potencia del circuito, se obtienen 4 incógnitas reales. Puedes hacer un análisis de malla o de nodos y encontrarás que tendrás 2 ecuaciones complejas, menos una de referencia. Te falta una.

Esto es lo que yo añadiría:

Supongamos que la magnitud de \$I_1\$ y \$I_2\$ son iguales.

La única manera que conozco de hacer esto es utilizar la respuesta dada en el problema, así que ahora que tengo eso fuera del camino voy a cortar esto. Voy a introducir sólo \$Z_{e}\$ que es la impedancia combinada de los 2 componentes paralelos. Puede que también se me olvide alguna de las barras vectoriales, perdonadme por favor. Comienza en la fuente de tensión y anota lo siguiente, utilizando el general \$|V|=|I| |Z|\$ propiedad.

$$|E| = |I| |Z_g+Z_e|$$

$$|Z_g+Z_e| = \frac{ |E| }{|I|} = 500 \sqrt{7}$$

Ahora definiré mi referencia y seguiré un poco la tensión. La notación que utilizo es \$U_1\$ para ese punto de tensión evidente después de la resistencia. Estoy usando \$-\psi\$ para el ángulo de la corriente porque ya sé que es un circuito inductivo neto, que es sólo por el conocimiento de la solución.

$$ E = 2 \sqrt{7} \angle 0 $$ $$ I = \frac{1}{250} \angle -\psi$$ $$ U_1 = E - R I = 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{3} \angle -\psi$$

Necesito escribir la ecuación de la inductancia equivalente.

$$ Z_e = \frac{1}{ \frac{1}{Z} + \frac{1}{j \omega L} } $$

De todos modos, me saltaré algunos pasos y escribiré los valores. Espero volver y poner más cosas más tarde. Perdón por la falta de análisis del circuito real en esta respuesta.

$$ \psi = arctan( \frac{1}{3 \sqrt{3} } )$$ $$ Z = 250 \angle -\frac{\pi}{3} $$ $$ Z_e = 250 \angle \frac{\pi}{3} $$ $$ I_1 = \frac{1}{250} \angle arctan( \frac{2}{\sqrt{3}} )$$ $$ I_1 = \frac{1}{250} \angle -arctan( \frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{21}} )$$

Ya es redundante decir esto, pero estos números dan la \$Z=250(\sqrt{3}-j)\$ y \$L=0.5 mH\$ . También funcionaría decir que Z es una resistencia de \$250 \sqrt{3} \Omega \$ en serie con un \$ 4 nF\$ condensador.

Creo que esta era una mala pregunta, y espero haber dado suficientes migajas de una respuesta consistente para que puedas probar esto a alguien más. Tal vez me equivoque, pero si mi análisis actual es correcto, no me gustaría que a alguien le dieran esto en un examen.