Tengo que estar de acuerdo contigo; no es la prueba mejor escrita de HTT. Déjame repasarla con una lentitud glacial (¡por mi propio bien!) para ver si puedo escribir algo que ayude a aclarar el papel de $X$ .
Déjame escribir $Map(U,V)$ en lugar de $V^U$ . Me resulta más fácil analizarlo en Internet.
En primer lugar, ¿cuál es nuestro $X$ ? Es el conjunto simplicial de secciones de $S\times_T\Delta^1\to\Delta^1$ es decir, es el producto de la fibra
$Map(\Delta^1,S\times_T\Delta^1)\times_{Map(\Delta^1,\Delta^1)}\Delta^0$ , donde $\Delta^0$ mapas en por inculsion de $id$ . Por lo tanto (ya que $Map(\Delta^1,-)$ es un adjunto derecho) obtenemos: $$X=Map(\Delta^1,S\times_T\Delta^1)\times_{Map(\Delta^1,\Delta^1)}\Delta^0=Map(\Delta^1,S)\times_{Map(\Delta^1,T)}Map(\Delta^1,\Delta^1)\times_{Map(\Delta^1,\Delta^1)}\Delta^0$$ $$=Map(\Delta^1,S)\times_{Map(\Delta^1,T)}\Delta^0$$ donde $\Delta^0$ es el mapeo por inclusión $f$ .
Ahora tenemos nuestro mapa $$q:Map(\Delta^1,S)\to Map(\{1\},S)\times_{Map(\{1\},T)}Map(\Delta^1,T),$$ cuyas fibras sobre $f$ buscamos. Es decir, sólo incluimos $$S_{t'}=Map(\{1\},S)\times_{Map(\{1\},T)}\Delta^0\to Map(\{1\},S)\times_{Map(\{1\},T)}Map(\Delta^1,T)$$ (que a su vez es el pullback de $f:\Delta^0\to Map(\Delta^1,T)$ a lo largo de la proyección, por supuesto) y tiramos hacia atrás para conseguir $q'$ .
Así que el resultado es un pullback de un pullback. (Si supiera cómo, dibujaría aquí los dos cuadrados del pullback.) El pullback compuesto es el pullback de $f:\Delta^0\to Map(\Delta^1,T)$ a lo largo de $Map(\Delta^1,S)\to Map(\Delta^1,T)$ . Pero esto es lo que llamamos $X$ . Así que nuestro resultado es un mapa $q':X\to S_{t'}$ y su fibra sobre cualquier vértice de $S_{t'}$ debe coincidir con la fibra sobre el vértice correspondiente de $Map(\{1\},S)\times_{Map(\{1\},T)}Map(\Delta^1,T)$ ya que eso será un pullback de un pullback también.
Editar (Harry): He escrito la versión final del diagrama. Si las letras no están explicadas, puedes deducir lo que son simplemente mirando el argumento de Clark o simplemente trazando los pullbacks. Cada cuadrado es un pullback, así que todo es muy fácil de tratar. $$\ \ \matrix{ X&\cong&S^{\Delta^1}_f &\to &Y^{\Delta^1}&\to& S^{\Delta^1}& \cr &\searrow&\downarrow &Pb &\downarrow&Pb&\downarrow \cr L_f&\cong &S_{t'} & \to &L'&\to& L & \to & S^{\{1\}} & \cr &&\downarrow &Pb&\downarrow&Pb&\downarrow&Pb&\downarrow p \cr &&\Delta^{0} & \to &(\Delta^1)^{\Delta^1} &\to& T^{\Delta^1} & \to & T^{\{1\}} \cr &&&id&&(f)^{\Delta^1}&&d_1}\ \ $$