Número complejo cálculo

Question

Voy a mostrar $ z^{10} $, cuando z = $ \frac{1+ \sqrt{3i} }{1- \sqrt{3i} } $

Puedo trabajar a $ \frac{(1+\sqrt{3}\sqrt{i})^{10}}{(1-\sqrt{3}\sqrt{i})^{10}} $

Sin embargo, esto no es concluyente porque necesito mostrar $ z^{10} $ en la forma x+yi, y no puedo calcular la parte real e imaginaria a partir de esta respuesta debido a que el exponente.

¿Qué debo hacer?

Answer 1

Sugerencia
En primer lugar usted debe obtener la polar en forma de $z$, $$z = r e^{i\varphi}$$ Para $\varphi\in[0,2\pi)$ $r>0$ real. Entonces $$z^{10} = r^{10} e^{i10\varphi}$$ Donde se puede simplificar $10\varphi\!\!\! \mod\! 2\pi$.

Answer 2

sugerencia

$z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$

Answer 3

Esto es similar a una AMIE problema que era algo a lo largo de las líneas:

$$z=\frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}$$

¿Qué es $z^{10}$?

Que era más fácil de resolver como $z^{10}=((z^2)^2)^2*z^2$ Como las condiciones que se derrumbó por lo que sólo necesita 4 condiciones para cualquier multiplicación. Una estrategia similar probablemente funcionaría aquí.

Answer 4

Me parece que @MichaelAlbanese que es correcto. Debe ser $ \frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i} $. Después de la eliminación de cualquier parte compleja de denominador obtenemos $$ \frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3}} \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3}} = \frac{-2 + 2 \sqrt{3}} {4} = -\frac{1 - \sqrt{3}}{2} $$

Podemos transferir en forma polar, que es $ {e}^{\frac{2}{3} \pi i} $

Y ahora la respuesta es bastante fácil de encontrar $$ {{e}^{\frac{2}{3} \pi i}}^{10} = {e}^{10 \frac{2}{3} \pi i} = {e}^{\frac{20}{3} \pi i} = {e}^{\frac{18 + 2}{3} \pi i} = {e}^{{6 \pi i} + {\frac{2}{3} \pi i}} = {e}^{6 \pi i} {e}^{\frac{2}{3} \pi i} = {e}^{\frac{2}{3} \pi i} $$ Así que la respuesta final es que el $ z^{10} = z = -\frac{1 - \sqrt{3} i}{2}$

Por CIERTO, si realmente $ z = \frac{1+\sqrt{3 i}}{1-\sqrt{3 i}} $ tiene grandes problemas debido a su forma polar es algo así como: $$ z = \frac{\sqrt{{\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+1\right) }^{2}+\frac{3}{2}}\,{e}^{i\,\left( \mathrm{atan}\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\,\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+1\right) }\right) +\mathrm{atan}\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\,\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) }\right) +\pi \right) }}{\sqrt{{\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) }^{2}+\frac{3}{2}}} $$ y la respuesta es $$ z^{10} = \frac{{\left( {\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+1\right) }^{2}+\frac{3}{2}\right) }^{5}\,{e}^{i\,\left( \mathrm{atan}\left( \frac{\mathrm{pecado}\left( 10\,\mathrm{atan}\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\,\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+1\right) }\right) \right) }{\mathrm{cos}\left( 10\,\mathrm{atan}\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\,\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+1\right) }\right) \right) }\right) -\mathrm{atan}\left( \frac{\mathrm{pecado}\left( 10\,\left( -\mathrm{atan}\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\,\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) }\right) -\pi \right) \right) }{\mathrm{cos}\left( 10\,\left( -\mathrm{atan}\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\,\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) }\right) -\pi \right) \right) }\right) \right) }}{{\left( {\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) }^{2}+\frac{3}{2}\right) }^{5}} $$

(gracias Maxima...)