Trigonométricas Sustitución

Question

Pregunta: el Uso de la sustitución de $x=3\sin(t)$ para evaluar la integral de $\int\sqrt{9-x^2}\,\mathrm dx$.

Empecé haciendo un triángulo rectángulo y resolviendo $\sin(t)$$\cos(t)$.

• $\sin(t)=\frac{x}{3}$ $\cos(t)=\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}$ Entonces, he resuelto para los valores de $\mathrm dx$$\sqrt{9-x^2}$.
• $\sqrt{9-x^2}=3\cos(t)$
• $\mathrm dx=3\cos(t)\,\mathrm dt$ Entonces, tengo la integral de $3\cos^2(t)\,\mathrm dt$.
• $3(\frac{1}{2}\cos(t)\sin(t)+ \frac{1}{2}t)$
• $\frac{3}{2}\cos(t)\sin(t)+\frac{3}{2}t$ Entonces, he sustituido en los valores que he encontrado para $\sin(t)$, $\cos(t)$, etc.
• $\frac{3}{2}(\frac{\sqrt{9-x^2}}{3})\times\frac{x}{3}+\frac{3}{2}arcsin(\frac{x}{3})$

Esa fue la respuesta es incorrecta y no sé por qué. ¿De dónde me salen mal? Gracias por su ayuda!

Answer 1

$$ \int \sqrt{9-x^2} dx $$ vamos $x=3\sin\phi$,$dx=3\cos\phi d\phi$, así tenemos $$ 3\int d\phi\cos\phi\sqrt{9(1-sen^2\phi)}=9\int d\phi \cos^2\phi =9\int d\phi \frac{1}{2}(1+cos(2\phi))=\frac{9\phi}{2}+\frac{9\sin(2\pi)}{4}+C $$ Así vemos que $$ \int \sqrt{9-x^2} dx=\frac{9\phi}{2}+\frac{9\sin(2\pi)}{4}+C $$ donde $\phi=\sin^{-1}(x/3)$. Simplificando obtenemos $$ \int \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{2}\big( \sqrt{9-x^2}+9\sin^{-1}\big(\frac{x}{3}\big) \big) $$