Complejo integral sobre una curva contenida en un conjunto abierto

Question

Thm 5.19 (exactamente) dice: Vamos a $\gamma\colon[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ ser suave a trozos. Deje $F$ ser una compleja función definida en un conjunto abierto que contiene a $\gamma^*$, y supongamos que $F'(z)$ existe y es continua en cada punto de $\gamma^*$. A continuación, $$\int_\gamma F'(z)dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).$$

La tarea se pide determinar todos los valores posibles de $$\int_C \frac 1{z^2+1}dz,$$ where $C$ is piecewise smooth from $z=-1$ to $z=1$, but does not include $z=i$ or $z=-i$.

Parte de nuestra respuesta es que si $C_1$ es directamente de $-1$ $1$(o deformable en una línea), entonces la integral debe ser igual a $\arctan(1)-\arctan(-1)=\frac \pi 2$. Tenga en cuenta que $C_1$ pasa entre los dos singularidades.

¿Por qué no thm 5.19 se aplican a una curva que pasa por encima (o por debajo), ambas singularidades (y no de bucle)?

Si $C_2$ pasa a través de ambas singularidades, entonces es seccionalmente suave. $F$ todavía está definida en un conjunto abierto que contiene a $C_2$ (no abrir el disco, y tendría que ser dibujado con cuidado para no incluir la singularidad, sino que es abierto). Y $F'(z)$ todavía existe y es continua en la curva.

Si mi amigo (y el perfecto grado, se metió en su tarea!), es correcto, entonces si la curva pasa por encima de ambas singularidades, es igual a $\frac \pi2$.

P. S. No hay necesidad de que me informara acerca de los bucles de las singularidades. Hemos manejado la situación el uso de Cauchy de la Integral de la Fórmula.

Answer 1

Hay una manera de hacer que su teorema 5.19 aplicable arbitraria de las rutas de $\gamma$ conectar $z=-1$ $z=+1$ que son distintos desde el segmento de $\sigma:=[-i,i]$, en particular las rutas que "pasar por encima de la singularidad en $z=i$":

Deje $\Omega:={\mathbb C}\setminus\sigma$. La transformación de Möbius $z\mapsto{z-i\over z+i}$ mapas de $\sigma$ a ${\mathbb R}_{\leq 0}\subset{\mathbb C}$, por lo tanto $${z-i\over z+i}\notin {\mathbb R}_{\leq 0}\qquad(z\in\Omega)\ .$$ De ello se sigue que la función $$F(z):={1\over 2i}{\rm Log}{z-i\over z+i}$$ es analítica en $\Omega$, y se calcula el $F'(z)={1\over z^2+1}$. Por lo tanto, por el teorema 5.19 para cualquier $\gamma$ de las descritas tipo que uno tiene $$\int_\gamma{dz\over z^2+1}=F(1)-F(-1)={1\over 2i}\Bigl({\rm Log}{1-i\over 1+i}-{\rm Log}{-1-i\over -1+i}\Bigr)=-{\pi\over2}\ .$$

Answer 2

Usted escribe que usted ya sabe cómo lidiar con bucles alrededor de las singularidades. Pero eso es realmente todo lo que usted necesita saber. Por ejemplo, si usted tiene un camino que pasa por encima de ambas singularidades de$-1$$1$, se puede ampliar con una que se remonta a lo largo de la línea real a $-1$ y, a continuación, dobla la espalda (adelante) a $1$:

Las dos partes de las extensiones se anulan el uno al otro, de modo que no cambie la integral alrededor de la totalidad de la ruta. Por otro lado, la ruta de acceso extendida ahora también puede ser visto como una suma de un bucle alrededor de $i$ y el camino recto ya has calculado.

De esta manera, cualquier camino sin embargo salvaje de $-1$ $1$se puede descomponer en un número de bucles alrededor de las singularidades (posiblemente en varias direcciones), además de una única copia de la línea de base recta senda.

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El teorema de citar no se aplican a la original (no extendido) $\gamma$, pero no se puede utilizar el mismo antiderivada como se utiliza para encontrar la integral de la senda recta. Eso es porque esta $\gamma$ cruza una rama de la corte que usted necesita hacer para definir que antiderivada, y no se puede ampliar el dominio de la antiderivada de todo el camino a la rama de corte de ambos lados y todavía tiene que ser continua en su dominio.

Por otro lado, el teorema no se aplica a la extensión de la ruta en mi esquema, debido a que no hay antiderivada que puede cubrir todo el bucle alrededor de $i$ sin ninguna discontinuidad.

Answer 3

Como countinghaus puntos, hay una rama de cortar por lo $F$ no es holomorphic por el teorema de aplicar, de ahí la necesidad de restar una sobrecarga de contorno de un bucle para calcular particular integral.

$\hskip 2.3in$

Esta es una imagen de la compleja $\arctan(z)$ función de Wikipedia.