Resolver la ecuación $\sqrt{x+5}=5-x^2$

Question

Resolver la ecuación $\sqrt{x+5}=5-x^2$ . He intentado hacer la sustitución $x=\sqrt{5}\tan^2 \theta$ y quería hacer uso de la identidad $\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$ pero no funcionó. También intenté hacer la sustitución $y=x+5$ pero no lleva a ninguna parte. Dado que se trataba de un problema del concurso, creo que hay una solución corta, elegante y elemental, por favor ayuda.

Answer 1

Ici $5+x\geq 0\Rightarrow x\geq -5$ y $5-x^2\geq 0\Rightarrow x^2-\left(\sqrt{5}\right)^2\leq 0\Rightarrow -\sqrt{5}\leq x \leq \sqrt{5}$

Así obtenemos $-\sqrt{5}\leq x \leq \sqrt{5}.$

Ahora $\sqrt{5+x}=y\;,$ Entonces $$y^2=5+x \tag{1}$$

y la ecuación se convierte en $$y=5-x^2\Rightarrow x^2=5-y\tag{2}$$

Así que $$y^2-x^2 = 5+x-(5-y)=(y+x)\Rightarrow (y^2-x^2)=(y+x)$$

Así que $$(y+x)\cdot(y-x)-(y+x) =0\Rightarrow (y+x)\cdot \left[y-x-1\right]=0$$

Así que $y=x$ o $y=x+1$

$\bullet \; $ Si $y=x\;,$ A continuación, poner en $y^2=5+x\Rightarrow x^2=5+x$

Así obtenemos $$\displaystyle x^2-x-5=0\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{1+20}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}$$

Así obtenemos $$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}.$$ bcz aquí $-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}$

$\bullet \; $ Si $y=1+x\;,$ A continuación, poner en $y^2=5+x\Rightarrow (1+x)^2=5+x$

Así obtenemos $$1+x^2+2x=5+x\Rightarrow \displaystyle x^2+x-4=0\Rightarrow x= \frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$$

Así obtenemos $$\displaystyle x= \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$$ bcz aquí $-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}$

Así que la solución final es $\displaystyle x = \left\{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\;, \frac{1-\sqrt{21}}{2} \right\}$

Answer 2

Pista:

la ecuación equivale a $$x^4-10x^2-x+20=0$$ Porque no hay $x^3$ en la ecuación y el coeficiente de $x^4$ es $1$ por lo que podemos utilizar lo siguiente $$(x^2-x+A)(x^2+x+B)=x^4-10x^2-x+20$$