¿Cuál es la definición de homeomorfo?

Question

Estoy buscando la definición de "homeomórfico" y la fuente que estoy consultando dice que hay dos definiciones diferentes:

1. Poseer similitud de forma,

2. Continuo, uno a uno, en suryección, y tener una inversa continua.

2. Parece estar hablando de una función / mapeo en particular, así que estoy bien con eso. Pero "poseer similitud de forma" no es riguroso, así que no entiendo lo que se quiere decir con eso. ¿Significa simplemente que existe una función que es continua, uno a uno, en suryección, y tiene una inversa continua de un conjunto a otro? Como cuando se dice por ejemplo que "la $2$-esfera no es homeomórfica a $\mathbb{R}^2$," ¿significa que no existe una función $f: S^2 \to \mathbb{R}^2$ tal que $f$ sea continua, uno a uno, en suryección, y tenga una inversa continua?

Answer 1

Es probable que la fuente se refiera a la palabra inglesa "homeomórfico" y no tenga nada que ver con las matemáticas. Observe cómo las definiciones se relacionan estrechamente con homeomorphism de dictionary.com:

sustantivo

1. similitud en la forma cristalina pero no necesariamente en la composición química.

2. Matemáticas. una función entre dos espacios topológicos que es continua, uno a uno y sobre, y cuya inversa es continua.

Por la etimología, parece que el término químico "homeomorfo" data de 1832, por lo que su uso efectivamente precede al campo de la topología en sí (sin contar al siempre previsor Euler).

Answer 2

Dos espacios topológicos son homeomórficos si existe una asignación como la descrita en (2) entre ellos, un mapeo continuo uno a uno $f$ de uno en el otro espacio cuya inversa $f^{-1}$ también es continua. Debido a esta condición, tanto $f$ como $f^{-1}$ son llamados homeomorfismos, es decir, mapas que preservan la estructura topológica subyacente de un espacio.

De esta manera, los dos espacios topológicos tienen la misma estructura topológica. Esto da una interpretación rigurosa a (1); como señala el OP, sin más contexto la afirmación (1) sobre "similitud de forma" carece de rigor.

El ejemplo de dos espacios, la 2-esfera $S^2$ y el plano $\mathbb{R}^2$, que no son homeomórficos ilustra el tema. Si estos fueran espacios homeomórficos, sus propiedades topológicas (preservadas bajo homeomorfismo) serían las mismas. Pero la compacidad es una propiedad topológica (preservada efectivamente por funciones continuas sobreyectivas), y $S^2$ es compacto pero $\mathbb{R}^2$ no es compacto. Así que sabemos que estos espacios no son homeomórficos.

Answer 3

La primera definición es extraña y no es en absoluto un término matemático estándar. Quizás "homeomórfico" se pueda usar con ese significado informal en un contexto no matemático (aunque no he encontrado ningún uso de esa manera al buscar en Google; el único otro uso que puedo encontrar es un significado técnico diferente en química). En resumen, no te preocupes por esa supuesta primera definición; nunca verás a nadie usándola.