4-Género de un enlace de puente 2

Question

¿Cómo podemos calcular 4-Género de enlace L? 4-género se define como el género mínimo de orientable superficie limitada por L en B ^ 4. ¿Hay cualquier método rutinario para calcular?

¿Sobre todo, cualquier buena idea cómo calcular 4-Género de un enlace de puente de 2? Gracias.

Answer 1

Echa un vistazo a los papeles de Paolo Lisca "bolas racionales y la conjetura de la cinta" y "Sumas de lente espacios delimitadores bolas racionales". Él determina qué nudos 2-Puente rebanada y el orden de la concordancia de todos los nudos 2-puente.

Pero no existe ningún procedimiento efectivo conocido para calcular 4-género.

Answer 2

Usted puede obtener interesantes límites inferiores utilizando Rasmussen s-invariante, y sus cálculos de la KR homología de 2-puente de enlaces.

O puede que no. Como dice Ryan, hay varias formas de delimitación género, arriba y abajo, pero a menos que tengas suerte y dos de ellos coinciden, puede ser difícil de distinguir. El 4-género de toro nudos que era un problema para un escandalosamente largo tiempo (si mi historia es la de la derecha fue probada por primera vez en la década de los 90!).

Answer 3

(Esto es realmente un Comentario sobre la respuesta relativa a la orden de concordancia).

Puesto que el p es par, el nudo del puente de 2 es realmente un enlace. Así, mientras que tiene sentido preguntar si es un enlace de slice o cinta, preguntar sobre su orden de concordancia no tiene sentido.

Answer 4

Rasmussen y Lee los resultados de decir que el $s$ invariante de un 2-puente nudo será igual a la firma del nudo. Así que usted puede calcular la firma de su nudo para obtener un límite inferior (hay muy rápido maneras de hacer esto de una corriente alterna diagrama). Por desgracia, la única manera decente a una cota superior, que yo sepa, es por ver a una superficie lisa! La buena suerte.

Recuerde que $s$ podría no ser el mejor que usted puede hacer. En particular, entre la alternancia de los nudos, la figura 8 nudos ($4_1$ en Rolfsen) ha de fuga $s$ invariante (por ejemplo, porque es de torsión en la concordancia de grupo) y, sin embargo, no es incluso rebanada si usted permite que sus superficies a ser localmente plana, mucho menos suave.