¿Es el límite$ \lim_{n\to \infty}\left(\sum^{n}_{r=0} \binom{n}{r}\big/{n^{r}(r+3)}\right)$ racional o irracional?

Question

¿Cómo puedo probar que el resultado del siguiente límite es racional / irracional?$$ \lim_{n\to \infty}\left(\sum^{n}_{r=0} \frac{\binom{n}{r}}{n^{r}(r+3)}\right)$ $

¿Resolvería este límite? ¿Cómo podría resolver esto? Entonces, si el resultado fuera decir$\pi$, ¿podemos concluir que es irracional? Es decir, ¿es una prueba completa?

Answer 1

Deje $f_n(x)=\sum_{r=0}^n\,\binom{n}{r}\,\frac{x^r}{r+3}$$x\in\mathbb{R}$$n\in\mathbb{N}$. A continuación, $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\,\left(x^3\,f_n(x)\right)=\sum_{r=0}^n\,\binom{n}{r}\,x^{r+2}=x^2(1+x)^n\,.$$ Debido a $x^3f_n(x)$ $0$ al $x=0$, llegamos a la conclusión de que $$f_n(x)=x^{-3}\,\int_0^x\,t^2(1+t)^n\,\text{d}t\,.$$ Escribir $a_n:=f_n\left(\frac{1}{n}\right)$. Estamos buscando a $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,a_n$.

Tenga en cuenta que $$a_n=n^3\,\int_0^{1/n}\,t^2(1+t)^n\,\text{d}t=\int_0^1\,s^2\left(1+\frac{s}{n}\right)^n\,\text{d}s\,,$$ donde $s:=nt$. Deje $g_n(s):=s^2\left(1+\frac{s}{n}\right)^n$$n\in\mathbb{N}$$s\in[0,1]$. Observar que $g_n$ converge uniformemente (o cada vez más) a $g$ $n\to\infty$ donde $g(s):=s^2\exp(s)$ todos los $s\in[0,1]$. Por lo tanto, se puede cambiar el límite de la integral, y obtener $$\lim_{n\to\infty}\,a_n=\int_0^1\,s^2\exp(s)\,\text{d}s=\text{e}-2\,,$$ que es irracional.

En general, si $F_n(a,x):=\sum_{r=0}^n\,\binom{n}{r}\,\frac{x^r}{n^r(r+a)}$ $n\in\mathbb{N}$, $a\in\mathbb{C}$ con $\text{Re}(a)>0$, e $x\in\mathbb{C}$, $$F_n(a,x)=\int_0^x\,s^{a-1}\,\left(1+\frac{s}{n}\right)^n\,\text{d}s\,.$$ Por lo tanto, $$\lim_{n\to\infty}\,F_n(a,x)=\int_0^x\,s^{a-1}\,\exp(s)\,\text{d}s=(-1)^{-a}\,\gamma(a,-x)\,,$$ donde $\gamma$ es la baja de la función gamma incompleta.

Answer 2

$$ \begin{equation} \begin{split} \lim_{n \to \infty} { \sum_{r=0}^n {\frac{\left( _r^n \right)}{n^r(r+3)}}} & = \lim_{n \to \infty} { \sum_{r=0}^n {\frac{n!}{r!(n-r)!n^r(r+3)}}} \\ & = \lim_{n \to \infty} { \sum_{r=0}^n {\left[ {\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^r(n-r)!}\right)} \left( \frac{1}{r!(r+3)} \right)\right]}} \\ & = \lim_{n \to \infty} { \sum_{r=0}^n {\frac{1}{r!(r+3)}}} \quad \quad \color{green} {\text{Note: } \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^r(n-r)!}\right) = 1} \\ & = \lim_{n \to \infty} { \sum_{r=0}^n {\frac{{x^{r+3}}}{r!(r+3)}}} \quad \quad \color{green}{\text{Note: For } x = 1} \\ & = \lim_{n \to \infty} { \sum_{r=0}^n { \int_0^1 {\frac{x^{r+2}}{r!}dx}}} \\ & = \int_0^1 x^2 \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^n {\frac{x^r}{r!}} dx \\ & = \int_0^1 {x^2e^x \space dx} \\ & = \left[x^2e^x\right]_0^1 - 2 \int_0^1 {xe^x \space dx} \\ & = e - 2 [e-(e-1)] \\ & = e - 2 \end {split} \ end {equation} $$

$ \ therefore \ text {Podemos concluir con éxito que} \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {r = 0} ^ n {\ frac {\ left (_r ^ n \ right)} {n ^ r (r +3)}}} \ text {es irracional.} $