Rigidez de la función holomorphic

Question

Estoy tratando de mostrar

Si $f=u+iv$ es continua en el disco de la unidad cerrada y holomorfa en el disco unidad abierto y $u=v^2$ en el círculo unitario, $f$ es constante.

Yo estaba pensando en aplicar el principio máximo y mínimo para funciones armónicas a $v^2-u$ pero no es necesariamente armónica $v^2-u$ (es subarmónicas).

También pensé en construir un mapa conformal en la imagen de f que envía la parábola $x=y^2$ a la línea real pero no estoy seguro si existe.

Answer 1

Deje $D$ $P$ igual que el anterior en la solución de Miqueas.

Reclamo: $f(D)\subseteq P$.

Supongamos que existe un $z_0\in D$ tal que $f(z_0)\notin P$. Vamos a dar una unidad de parametrización $\gamma(t)=e^{2\pi it}$ a de la unidad de círculo. A continuación, $\sigma(t)=f(\gamma(t))$ es una curva cerrada contenida en P. Nota que $n(\sigma,f(z_0))=0$ donde $n(,)$ denota el índice de un punto con respecto a una curva. Ahora

$n(\sigma,f(z_0))=\Sigma_{j=1}^{n}n(\gamma, z_j)$, donde $z_j$'s son el preimages de $f(z_0)$.

El lado derecho es un entero positivo mayor que $1$, y, por tanto, una contradicción. Así que la afirmación es verdadera y, por tanto, $f$ tiene que ser constante.

Ahora el único problema es que la declaración de $n(\sigma,f(z_0))=\Sigma_{j=1}^{n}n(\gamma, z_j)$ es cierto cuando se $\gamma$ es una curva contenida en un dominio $\Omega$ $f$ es holomorphic en $\Omega$. Pero "resulta que para una función de $f$ holo. en el interior de $D$ y cont. en D, esta propiedad es true."

Nota: Observar que no hay nada especial en la Parábola aquí, uno puede elegir cualquiera de la curva de $\sigma$ tal que $\mathbb{C}\setminus<\sigma>$ no tiene ningún delimitada componente.

Answer 2

Que $U$ ser el disco unidad abierto. La función $$g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$g(x + i y) = x - y^2$$ is open. If $f $ is not constant then by the open mapping theorem $g \circ f (U) $ is open. The extreme values of $g \circ f$ on the compact set $\overline{U}$ are therefore attained on the unit circle. Since the minimum is strictly less than the maximum $g \circ f$ no es constante en el círculo unitario. Una contradicción.

Answer 3

Deje $D$ denotar la cerrada de la unidad de disco; deje $P=\{x+iy|x=y^2\}$. Si $f(D) \subset P$, $f(D)$ no se puede abrir. Por lo $f$ es constante por la asignación abierta teorema.

Por otro lado, supongamos que hay algunos $z_0 \in D$$f(z_0) \not\in P$. Observe que $P$ divide $\Bbb{C}$ en dos no-compacto ruta de los componentes. Por otro lado, $f(D)$ es compacto (desde $D$ es). Así que debe haber algo de $w \not\in f(D)$ contenida en el mismo camino de componente como $f(z_0)$.

Tomar un camino de unirse a $f(z_0)$ $w$que no se cruzan $P$. A continuación, se debe intersectar el límite de $f(D)$. Desde $f(D)$ es compacta, es cerrado. Así que hay algo de $z_1$ tal que $f(z_1)$ está contenida en el límite de $f(D)$ e no $P$.

Desde $f(z_1) \not\in P$, $z_1$ no está en el círculo unidad. Por lo tanto debemos tener $|z_1|<1$, por lo que hay algunos abren $U$$z_1 \in U \subset D$. Por la asignación abierta teorema, si $f$ no es constante, $f(U)$ $\Bbb{C}$- abrir subconjunto de $f(D)$ contiene $f(z_1)$. Pero $f(z_1)$ se encuentra en el límite de $f(D)$, así que no hay tal conjunto existe. Por lo tanto $f$ debe ser constante.