¿En la que acredite A = B, A, B son conjuntos, siempre tienes que mostrar $\subseteq$ y $\supseteq$?

Question

Estoy tratando de mostrar la DeMorgan la Ley de

$X \barra invertida \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha = \bigcap_{\alpha \in I} (X \barra invertida A_\alpha)$

Parece que directamente podría acercarse a este de la siguiente manera:

$X \backslash \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha = X \bigcap (\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha)^c = X \bigcap (\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c) = \bigcap_{\alpha \in I} X \backslash A_\alpha$

La última línea de la siguiente manera a partir de la distributividad

Pero pensé en la teoría de conjuntos pruebas del tipo Demostrar $A = B$, usted tiene que demostrar que $ A \subseteq B$$B \subseteq A$.

Pero en este caso parece que directamente han demostrado que los dos son equivalentes, sin recurrir a $A \subseteq B$ $B \subseteq A$...

Alguien puede aclararme si mi planteamiento es correcto? Yo no soy muy versado en la teoría de conjuntos de pruebas.

Answer 1

No hay ninguna regla que uno debe mostrar la inclusión de las dos formas en un conjunto teórico de la prueba de la igualdad de dos conjuntos, es muy a menudo una manera fácil de hacerlo. Si usted puede hacer sin que, por todos los medios.

Hago la pregunta de su paso $X \bigcap (\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha)^c = X \bigcap (\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c)$ puesto que usted está utilizando el hecho de que $(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha)^c = \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c$, que es otra formulación de De Morgan de la misma regla. Si usted está tratando de demostrar De Morgan, la regla en general, no se puede utilizar ese hecho sin tener un argumento circular. Sin embargo, si usted apenas está demostrando otra formulación de De Morgan de la regla y se le permite el uso de esta formulación, entonces todo está bien.

Answer 2

La prueba está bien. :-)

La regla de "mostrar $A = B$, compruebe que $A \subseteq B$ y $B \subseteq A$" es bastante agradable, ya que a menudo se da un fructífero punto de partida para demostrar los esfuerzos.

Sin embargo, en realidad, no es necesario verificar la igualdad mediante esta regla. Cualquier otro sonido, método de prueba puede ser usada. En su caso, se utiliza de forma implícita el lema "si $A = B$$B = C$$A = C$".

Quisiera agregar que el cálculo de las pruebas de continuar utilizando las igualdades que podría ser considerado más elegante que el elemento sabio pruebas. Sin embargo, en muchos casos, el elemento sabio pruebas son más fáciles de realizar.

Answer 3

Una prueba directa: % todo $y$tenemos $$y\in X\backslash \cup_{a\in I}Aa \iff (y\in X \land y\not \in \cup{a\in A}A_a)\iff$$ $$\iff (y\in X \land (\forall a\in A\;(y\not \in A_a))) \iff (\forall a\in A\; (y\in X \land y\not \in A_a)) \iff $$ $% $ $\iff (\forall a\in A (y\in X\backslash Aa))\iff y\in \cap{a\in A}(X\backslash A_a).$

En algunos problemas puede ser más fácil de mostrar $A\subset B$ y $B\subset A$ probar A = B. En muchos casos, una mitad es más fácil que el otro, o diferentes métodos pueden ser más adecuados para las dos mitades.