Contraejemplo $X_n \to X$ en la distribución pero $\lim_{n \to \infty} E[ \log(1+X_n) ]\neq E[ \log(1+X) ]$

Question

Sea $X_n \to X$ en la distribución en la que sólo consideramos variables aleatorias no negativas.

Busco un contraejemplo que para el siguiente límite \begin{align} \lim_{n \to \infty} E[ \log(1+X_n) ]= E[ \log(1+X) ]. \end{align}

He aquí un contraejemplo que he creado. Sea $X_n$ tienen una función de masa de probabilidad según $P[ X_n=0]=(1-\frac{1}{n})$ y $P[ X_n= 2^n]=\frac{1}{n}$ . Entonces \begin{align} \lim_{n \to \infty} E[ \log(1+X_n) ]= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log(1+2^n) = \log(2). \end{align} Por otra parte, tenemos que $X_n \to X= 0$ en la distribución para que \begin{align} E[ \log(1+X) ]= \log(1)=0. \end{align}

Mi pregunta: ¿Podemos crear un contraejemplo tal que $\sup_{n} E[X_n]<\infty$ y $E[X]<\infty$ ? Además, ¿existe algún ejemplo de este tipo?

Nótese que en mi contraejemplo, tenemos que \begin{align} \sup_{n} E[X_n]= \sup_{n} \frac{1}{n} 2^n=\infty. \end{align}

Answer 1

No, no existe tal contraejemplo. Si además suponemos que $\sup_n \mathbb{E}(X_n)<\infty$ y $\mathbb{E}(X)< \infty$ entonces

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\log(1+X_n) = \mathbb{E}\log(1+X).$$

Prueba: Elija $\chi_k \in C_b$ tal que $0 \leq \chi_k \leq 1$ , $\chi_k|_{B(0,k)}=1$ y $\chi_k|_{B(0,k+1)}=0$ . Claramente,

$$|\mathbb{E}(\log(1+X_n))-\mathbb{E}(\log(1+X))| \leq I_1+I_2+I_3$$

donde

$$\begin{align*} I_1 &:= \sup_{n \geq 1} |\mathbb{E}(\log(1+X_n)-\log(1+X_n) \chi_k(X_n))| \\ I_2 &:= |\mathbb{E}(\log(1+X_n) \chi_k(X_n)-\log(1+X) \chi_k(X))| \\ I_3 &:= |\mathbb{E}(\log(1+X)-\log(1+X) \chi_k(X))| \end{align*}$$

La convergencia en la distribución implica que

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(\log(1+X_n) \chi_k(X_n)) = \mathbb{E}(\log(1+X) \chi_k(X))$$

para cualquier $k \in \mathbb{N}$ y así $I_2 \to 0$ como $n \to \infty$ . Por otra parte, tenemos

$$\begin{align*} |\mathbb{E}(\log(1+X_n) \chi_k(X_n)) - \mathbb{E}\log(1+X_n)| &\leq \mathbb{E}(\log(1+X_n) 1_{|X_n|>k}) \\ &\leq c_k \mathbb{E}(X_n) \end{align*}$$

para algunos $c_k>0$ tal que $c_k \to 0$ como $k \to \infty$ . (Utilice ese $x \mapsto x$ está creciendo mucho más rápido que $x \mapsto \log(1+x)$ para grandes $x$ .) La misma estimación es válida con $X_n$ sustituido por $X$ . Combinando las estimaciones obtenemos

$$\limsup_{n \to \infty} |\mathbb{E}(\log(1+X_n))-\mathbb{E}(\log(1+X))| \leq c_k \sup_{m \in \mathbb{N}} \mathbb{E}(X_m) + c_k \mathbb{E}(X).$$

Dado que el lado derecho converge a $0$ como $k \to \infty$ concluimos que

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\log(1+X_n) = \mathbb{E}\log(1+X).$$