¿Hacer $\binom nr$ y $\binom {2n}{2r}$ siempre tienen la misma paridad? Puedo ver que es verdad $r=1$ desde $\binom {n}{1}=n$ y $\binom{2n}{2}=n(2n-1)$, pero ¿qué acerca de bigget $r$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dilip Sarwate
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Según la sugerencia de robjohn:
$$\begin{align} \binom{2n}{2r} &= \frac{2n}{2r}\times \left(\frac{2n-1}{2r-1}\right)\times \frac{2n-2}{2r-2}\times \left(\frac{2n-3}{2r-3}\right)\times \cdots \times \frac{2n-2r+2}{2} \times \left(\frac{2n-2r+1}{1}\right)\ &= \frac{n}{r}\times \frac{n-1}{r-1}\times\cdots\times \frac{n-r+1}{1} \times \left(\frac{2n-1}{2r-1}\right)\left(\frac{2n-3}{2r-3}\right)\cdots \left(\frac{2n-2r+1}{1}\right)\ &= \binom{n}{r}\times \frac{2p+1}{2q+1} \end {Alinee el} $$ donde $p$ y $q$ son números enteros. Así tenemos que el $$(2q+1)\binom{2n}{2r} = (2p+1)\binom{n}{r} \tag{1}$ $ donde el lado izquierdo de $(1)$ es o impar como $\binom{2n}{2r}$ es incluso o impares mientras que el lado derecho de $(1)$ incluso o impar como $\binom{n}{r}$ es o impar. Por lo tanto, $\binom{2n}{2r}$ y $\binom{n}{r}$ deben tener la misma paridad modulo 2. Más fuertemente, nosotros podemos también deducir de $(1)$ que la mayor potencia de 2 que divide $\binom{2n}{2r}$ es igual a la mayor potencia de 2 que divide $\binom{n}{r}$.
Anthony Shaw
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Como se muestra en esta respuesta, cualquier % primer $p$, el número de factores de $p$de % que % de brecha $\binom{n}{k}$es \frac{\sigma_p(k)+\sigma_p(n-k)-\sigma_p(n) $$} {p-1} $$ $\sigma_p(n)$ Dónde está la suma de los dígitos base-$p$ $n$. Tenga en cuenta que $\sigma_2(n)=\sigma_2(2n)$.
