He encontrado este resultado explorando en busca de nuevos problemas.
Si tres parábolas comparten una directriz común y cada par se interseca en dos puntos, entonces, las líneas que unen los dos puntos de intersección de cada par de parábolas son concurrentes.
La prueba es bastante sencilla, así que mi pregunta es :
¿Alguien ha visto esto antes? ¿Alguna referencia? 
Encontré una referencia útil y un teorema interesante llamado Teorema de las Tres Cónicas que es similar al tuyo, pero no es el mismo. Aquí hay un enlace: http://mathworld.wolfram.com/ThreeConicsTheorem.html y otra referencia: "The Seven Circles Theorem and other new theorems" de C.J.A. Evelyn, G.B. Money-Coutts y J.A. Tyrrell (1974).
Como puedes ver , las tres cónicas se cruzan en I y J y se cruzan por pares en (Q1,P1) , (Q2,P2) , (Q3,P3) . Los tres segmentos, Q1P1, Q2P2 , Q3P3 son concurrentes en X. Esta imagen está tomada del libro mencionado anteriormente, (hay un diagrama similar en mathworld).
Este es un caso particular de Neville: Las cuerdas comunes de tres cónicas con foco compartido se encuentran en los vértices de un cuadrilátero. En el caso de tres elipses, sólo uno de los cuatro vértices es real. En el caso de tres parábolas, degenera aún más. www.aip.de/People/deliebscher/Publikationen/DreiEllipsen.ps
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