La llegada de los fotones en una de píxeles en un sensor de imagen es de Poisson distribuido variable aleatoria tal que la entrada puede ser modelada como una distribución de Poisson r.v. $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$.
Puesto que la entrada es de Poisson, la media y la varianza son iguales tal que
\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathrm{Var}[X]}=1 \end{equation}
Ahora, cuando los fotones de entrada pasa a través de un lineal sensor de imagen (cámara) para producir una salida digital, podemos tratar esto como una transformación lineal de $X$ que la salida, $Y$$Y=X/g$.
En el caso de este sensor lineal, que se puede extraer de la `ganancia de conversión', es decir, el número de fotones necesarios para producir una salida digital de uno, representado como $g$ en unidades de (fotones/digital#), como
\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}=\frac{\mathbb{E}[X/g]}{\mathrm{Var}[X/g]}=\frac{\frac{1}{g}\mathbb{E}[X]}{\frac{1}{g^2}\mathrm{Var}[X]}=g \end{equation}
Sin embargo, ahora considere la posibilidad de un sensor en el que la ganancia de conversión depende linealmente de la entrada, por ejemplo, $Y=X/(aX+b)$ donde$a>0$$b>0$. Esto significa que la ganancia es una función creciente de la señal de $g(x)=ax+b$.
En el caso de no-lineal del sensor, la ganancia no puede ser encontrado a partir de la relación de la media de la varianza en la salida
\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}\neq g(x) \end{equation}
De hecho, la medida de la ganancia de conversión se encuentra para ser más grande que la real ganancia de conversión para cualquier nivel de señal de entrada.
\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}> g(x) \end{equation}
Parte de la explicación para esto es la desigualdad de Jensen, que sostiene que para que un aumento de la cóncava de la transformación de algunos aleatorios de entrada de $X$, es decir,$Y=f(X)$:
\begin{equation} \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[f(X)]\leq f(\mathbb{E}[X]) \end{equation}
En mi caso $Y=X/(aX+b)$ es de hecho un aumento de la función cóncava lo que significa que la media medido en la salida es menor que la transformada media de la entrada. Ya sabemos que la medida de la ganancia en la salida está sobrevalorado y la media medido es subestimado, esto implica que la medida de la variación es aún más subestimado de la media.
Cómo puedo probar esta o matemáticamente escribir esto? Hay una generalización de la desigualdad de Jensen para la varianza? Puedo mostrar exactamente la razón por la que la ganancia está sobreestimado en este ejemplo?
Gracias.
