Unidades de números enteros p-adic

Question

Cómo probar que el $p$-adic unidades pueden ser escritas como %#% $ $$\mathbb{Z}p^\times \cong \mu{p-1}\times(1 + p\mathbb{Z}_p) \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_p$ #% ¿Dónde está la raíz de $\mu_n$-th de la unidad en $n$?

Aquí $\mathbb{Z}_p$ es un número primo.

Cualquier sugerencia o link sería útil.

Además, parece extraño: ¿por qué las unidades de $p>2$ es isomorfo a un tipo que parece más grande que $\mathbb{Z}_p$?

Answer 1

Este debe ser cubierto en casi cualquier texto en el $p$-ádico números; creo que el libro de Gouvêa es el mejor de estos.

Y su afirmación no es del todo cierto: para $p=2$, $\mu_{p-1}$ es trivial, pero la otra parte es isomorfo a $\{\pm1\}\times(1+4\Bbb Z_2)$. Mi cuento a continuación, se omite la historia para $p=2$, y se puede llenar esta en ti mismo.

En primer lugar, se puede considerar que las unidades, $\Bbb Z_p^\times$, y reducir el modulo $p$ para el grupo multiplicativo de a $\Bbb F_p\cong\Bbb Z/p\Bbb Z$. Es cíclico de orden $p-1$, como estoy seguro que usted sabe. Así que tenemos una secuencia exacta: $$ 0\longrightarrow K\longrightarrow\Bbb Z_p^\times\longrightarrow\Bbb F_p^\times\longrightarrow0\,; $$ si no estás familiarizado con la notación exacta de secuencias de esto, sólo dice que hay un surjective mapa de medio plazo para el uno a su derecha, con el kernel igual a la que está a su izquierda.

¿Qué es el kernel? Es que las unidades que van a $1$ en el campo de $\Bbb F_p$, en otras palabras $1+p\Bbb Z_p$. Para demostrar que $\Bbb Z_p^\times$ es el producto directo de las dos cosas a ambos lados de la misma, es suficiente para mostrar que hay un homomorphism de $\Bbb F_p^\times$ a cuya imagen hits $K$ sólo en la identidad. Esta es la parte divertida:

Usted puede encontrar $(p-1)$-th raíces de la unidad en la $\Bbb Z_p$, ya sea por una aplicación rutinaria de cualquier versión de Hensel del Lema que te gusta, o, mi método favorito, tomar un elemento de $\Bbb F_p^\times$, elevación a cualquier elemento de $\Bbb Z_p$ que lo va modulo $p$, y tomar sucesivos $p$-th poderes: $x\mapsto x^p\mapsto(x^p)^p\mapsto\cdots$ etc. Yo voy a dejar a usted para mostrar que esta es una buena secuencia convergente y su límite es claramente un adecuado raíz de la unidad.

Mostrando que el grupo multiplicativo $1+p\Bbb Z_p$ es isomorfo al grupo aditivo $\Bbb Z_p^+$ es bastante menos divertido. A decir verdad, cuando vi por primera vez el logarítmica argumento, no me gusta, pero ahora creo que es el mejor. Tienes que convencerte a ti mismo que tan largo como el de la serie para $\log(1+x)$ que vio en el Cálculo es convergente, entonces $\log\bigl[(1+x)(1+y)\bigr]=\log(1+x)+\log(1+y)$, y para $x\in p\Bbb Z_p$, la serie es convergente. Y los valores del registro están todos en $p\Bbb Z_p\cong\Bbb Z_p$ (como aditivo de los grupos, por supuesto), y llenar ese grupo.