Resuelve los números reales positivos, el sistema de ecuaciones:$$(2x)^{2013} + (2y)^{2013} + (2z)^{2013} =3 $ $ y$$xy + yz + zx + 2xyz = 1.$ $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje$x=\frac{a}{2}, y=\frac{b}{2}, z=\frac{c}{2}$, entonces
ps
Ahora, por AM$$ab+bc+ca+abc=4, a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=3$ GM$\geq$. Deje$4=ab+bc+ca+abc \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+abc$, de modo que$x=\sqrt[3]{abc}$.
Factorizando, obtenemos$4 \geq 3x^2+x^3$, entonces$(x-1)(x+2)^2 \leq 0$. Por lo tanto$x \leq 1$, entonces$abc \leq 1$.
Ahora, por poder, la desigualdad y la desigualdad$ab+ac+bc=4-abc \geq 3$ (que es equivalente a$a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$), obtenemos
ps
Como la igualdad se cumple, debemos tener$\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2) \geq 0$, entonces$$1=\sqrt[2013]{\frac{a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}}{3}} \geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \geq 1$ y obtenemos$a=b=c$.
Por lo tanto, la única solución en reales positivos es$3=3a^{2013}$.
