¿Cómo puedo mostrar que $n! \leqslant (\frac{n+1}{2})^n$?

Question

<blockquote> <p>Mostrar que %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Sé que se puede hacer por inducción pero siempre me encuentro con línea donde no sé qué hacer.</p>

Answer 1

Use la desigualdad de AM-GM en el % de números $1,...,n$.

Answer 2

Indirecta: $$ (n)! ^ 2 = 1\times \times 2\times n (n-1) \times \dots = \prod_{k=1}^n k(n+1-k) $$ y luego usar k\times $$ (n +1 -k) = \left(\frac {n+1}2 + \frac {n+1}2-k\right)\left(\frac {n+1}2-\frac {n+1}2 + k\right) \ = \left (\frac {n+1} 2\right) ^ 2 - \left (\ frac {n+1} 2 - k\right) ^ 2 \le \left(\frac {n+1}2\right) ^ 2 $$ a $$ (n)! ^ \le \left(\frac {n+1}2\right) 2 ^ {2n} $$

Answer 3

ps

Answer 4

SUGERENCIA:

$$\frac{r+n+1-r}2\ge\sqrt{r(n-r)}$$ for $1\le r\le $ n

Set $r=1,2,\cdots,n-1,n$ y luego multiplicar