Cómo calcular la integral $\int_0^\infty\frac{x}{e^x+1}dx$ utilizando el teorema del residuo.

Question

Cómo calcular la integral $\int_0^\infty\frac{x}{e^x+1}dx$ utilizando el teorema del residuo, tal y como dice el titulo. He utilizado rectángulos, círculos para hacer, pero sin ningún progreso.

Por cambio de variable $y=e^x$, obtenemos $\int_1^\infty \frac{\ln y}{y(y+1)}dy$. Todavía no tengo ni idea.

Answer 1

Para utilizar un contorno rectangular, considere la integral

$$\oint_C dz \frac{z^2}{e^z+1}$$

donde $C$ es el contorno rectangular que tiene vértices en $0$, $R$, $R+i 2 \pi$, y $i 2 \pi$, con una forma semicircular, desvío en el rectángulo de radio $\epsilon$$z=i \pi$. El contorno de la integral es entonces igual a

$$\int_0^R dx \frac{x^2}{e^x+1} + i \int_0^{2 \pi} dy \frac{(R+i y)^2}{e^{R+i y}+1} \\ + \int_R^0 dx \frac{(x+i 2 \pi)^2}{e^{x+i 2 \pi}+1} + i \int_{2 \pi}^{\pi+\epsilon} dy \frac{(i y)^2}{e^{i y}+1}\\ + i \epsilon \int_{\pi/2}^{-\pi/2} d\phi \, e^{i \phi} \frac{(i \pi+\epsilon e^{i \phi})^2}{e^{i \pi+\epsilon e^{i \phi}}+1}+i \int_{\pi-\epsilon}^0 dy \frac{(i y)^2}{e^{i y}+1}$$

Consideramos que el límite de $R\to\infty$$\epsilon \to 0$. Como $R\to\infty$, la segunda integral se desvanece. Como $\epsilon\to 0$, el quinto enfoques integrales

$$i \epsilon \int_{\pi/2}^{-\pi/2} d\phi \, e^{i \phi} \frac{-\pi^2}{-\epsilon e^{i \phi}}=-i \pi^3$$

Por Cauchy teorema, el contorno de la integral es cero. Tenemos, entonces, la expansión de la primera y la tercera de las integrales y la combinación de la cuarta y la sexta de las integrales en un valor principal de Cauchy:

$$-i 4 \pi \int_0^{\infty} dx \frac{x}{e^x+1} +4 \pi^2 \int_0^{\infty} \frac{dx}{e^x+1}\\ +i \,PV \int_0^{2 \pi} dy \frac{y^2}{e^{i y}+1}-i \pi^3=0$$

donde $PV$ denota el valor principal de Cauchy. Tenga en cuenta que

$$PV \int_0^{2 \pi} dy \frac{y^2}{e^{i y}+1} = \frac12 \int_0^{2 \pi} dy \: y^2 -i \frac12 \, PV \int_0^{2 \pi} dy \frac{y^2 \sin{y}}{1+\cos{y}}$$

La equiparación de la imaginaria, vemos que

$$-4 \pi \int_0^{\infty} dx \frac{x}{e^x+1} + \frac12 \frac{(2 \pi)^3}{3} - \pi^3=0$$

o

$$\int_0^{\infty} dx \frac{x}{e^x+1} = \frac13 \pi^2-\frac14\pi^2 = \frac{\pi^2}{12}$$

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ \begin{align} &? \equiv \int_{0}^{\infty}{x \over \expo{x} + 1}\,\dd x= {1 \over 4}\int_{-\infty}^{\infty} {x^{2}\expo{x} \over \pars{\expo{x} + 1}^{2}}\,\dd x = {1 \over 16}\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}\ \over \cosh^{2}\pars{x/2}}\,\dd x =\half\int_{-\infty}^{\infty}{x^{2}\ \over \cosh^{2}\pars{x}}\,\dd x \end{align} Los ceros de $\cosh\pars{x}$$x_{n} = \pars{n + 1/2}\pi\ic$. $n \in {\mathbb Z}$. El integrando tiene polos de orden dos en $x = x_{n}\,,\ \forall\ n\ \in {\mathbb Z}$. El resultado es $\color{#0000ff}{\large ? = \pi^{2}/12}$.