Permítanme darles algunos comentarios sobre el ring $R=\mathbb Z+x\mathbb Q[x]$. Esto pasa a ser una construcción particular de la más general de construcción $D+xD_S[x]$ donde $D$ es una parte integral de dominio y $S$ es un multiplicatively subconjunto cerrado de $D$ tal que $0\notin S$.
En general, no hay una "buena" relación entre el$D$$D+xD_S[x]$, excepto cuando se $S=D\setminus \{0\}$. En este caso hay muchas propiedades interesantes relacionadas tanto con la $D$ $D+xD_S[x]=D+K[x]$ (aquí se $K$ es la fracción de campo de $D$).
Por ejemplo, en este papel por la Costa y Zafrullah ha demostrado el siguiente resultado notable:
Teorema 1: $D+xK[x]$ es una de bézout dominio iff $D$ es una de bézout de dominio.
Prueba: Este es el corolario 4.13 en el documento citado anteriormente.
Ahora, en su caso, $D=\Bbb Z$ es un dominio de bézout (incluso es un PID), de modo que por el teorema anterior $\mathbb Z+x\mathbb Q[x]$ es también una de bézout de dominio.
Esto explica por qué en el fin de producir un no principal ideal que usted necesita tomar un no finitely generado ideal, por ejemplo, el ideal dado en rschwieb la respuesta: $x\Bbb Q[x]$. Esto también justifica por qué su ejemplo, es decir, $(2,1/2x)$ no funciona, ya que es un finitely generado ideal.
Por otro lado, rschwieb contestado ya a lo que es la forma de $R/(x)$ y a partir de allí los probó que $x$ no es primo, pero hay otra manera de prueba para el posterior resultado.
Es suficiente para demostrar que $x$ no es irreducible y, de hecho, en el ring $\mathbb Z+x\mathbb Q[x]$ tenemos la no-trivial de la factorización de $x$: $$x=\Bigl(\frac{1}{2}x\Bigr)2.$$ This shows that $x$ is not irreducible in $\mathbb Z+x\mathbb Q[x]$.
Más en general, la Costa y Zafrullah demostrado en su papel por encima de un buen resultado sobre la estructura de los principales ideales de la $D+xK[x]$. Tenemos las siguientes:
Teorema 2: El primer distinto de cero ideales de $D+xK[x]$ son los ideales $P+xK[x]$
donde $P$ es un primer ideal de $D$, y los principales ideales de la $f(x)(D+xK[x])$,
donde $f(X)$ es irreducible en a$K[x]$$f(0)=1$.
Prueba: Este es el teorema 4.21 en el documento citado anteriormente.
Así que por el teorema anterior podemos concluir de nuevo que $x$ no es primo en $\mathbb Z+x\mathbb Q[x]$ al darse cuenta de que $x$ es irreducible en a $\Bbb Q[x]$, pero $x(0)=0$.
Ha habido muchas investigaciones en álgebra conmutativa sobre el ring $D+xD_S[x]$ y construcciones similares. Si desea explorar y profundizar en estas construcciones les recomiendo los siguientes artículos:
Costa, D.; Mott, J. L.; Zafrullah, M. La Construcción De La $D+XD_S[X]$. Diario de Álgebra. 53 (1978), pág. 423-439.
Zafrullah M. El $D+XD_S[X]$ construcción de MCD dominios. Diario de Pura y Aplicada Álgebra. 50 (1988), pág. 93-107.
Jackson, T.; Zafrullah, M. Ejemplos en álgebra moderna con la que los estudiantes pueden jugar. De problemas, Recursos y Problemas en Matemáticas Estudios de Licenciatura. 6.4 (1996), pág. 351-354.
