Partición $\mathbb{R}^2$ en subconjuntos densos conectados por trayectorias disjuntas

Question

¿Existe una partición del plano en $n=3$ (o más generalmente $n\ge 3$ ) subconjuntos densos disjuntos conectados por el camino?

Obsérvese que la respuesta es afirmativa si se sustituye "path-connected" por "connected", como se muestra aquí . La pregunta vinculada también muestra que la respuesta es afirmativa para $n=1$ (trivial) y $n=2$ (no es del todo trivial, pero es bonito y explícito).

Answer 1

En primer lugar, dividimos $\mathbb Q^2$ en $n$ subconjuntos densos $A_1, \ldots , A_n$ y fijar una enumeración $a_{i,1}, a_{i,2}, a_{i,3}, \ldots $ para cada uno de los conjuntos $A_i$ .

Para empezar, asigna el color $i$ a $a_{i,1}$ , es decir, dejar que $S_i^{(1)}=\{a_{i,1}\}$ .

Supongamos que tenemos la siguiente situación:

$m\in\mathbb N$ y tenemos conjuntos disjuntos por pares $S_1^{(m)}, \ldots , S_n^{(m)}$ donde cada $S_i^{(m)}$ es una curva poligonal de $a_{i,1}$ a $a_{i,m}$ con $S_i^{(m)}\cap \mathbb Q^2 = \{a_{i,k}\mid k\le m\}$ .

Entonces el complemento $\mathbb R^2\setminus \bigcup S_i^{(m)}$ está conectado y abierto. Para $i=1, \ldots , n$ añadiremos una ruta a $a_{i,m+1}$ de la siguiente manera: Primero observe que el conjunto $$X=\mathbb R^2\setminus\left(\bigcup_{j<i}S_j^{(m+1)}\cup \bigcup_{j\ge i}S_j^{(m)}\right)$$ está abierta y conectada. Hay un camino en $X\cup\{a_{i,m}\}$ de $a_{i,m}$ a $a_{i,m+1}$ . Desde $X$ está abierto, podemos sustituir la trayectoria por una trayectoria poligonal. Además, podemos desplazar ligeramente los nodos de la trayectoria (aparte del nodo inicial y el final) de forma que todos los segmentos de línea eviten los puntos racionales (aparte de $a_{i,m}$ y $a_{i,m+1}$ ); en resumen, esto es posible porque tenemos incontables opciones para posicionar los nodos en un disco abierto, pero sólo hay incontables puntos que evitar. Entonces, dejemos que $S_i^{(m+1)}$ sea la polilínea $S_i^{(m)}$ junto con la polilínea recién encontrada. Especialmente, $S_i^{(m)}\subset S_i^{(m+1)}$ .

Cuando hayamos hecho esto para todos $i$ hemos obtenido la situación descrita anteriormente, pero con $m$ sustituido por $m+1$ .

Ahora dejemos que $$S_i=\bigcup_{m\in\mathbb N}S_i^{(m)}.$$ Entonces $S_i$ está conectada por un camino (dos puntos cualesquiera están conectados en algún $S_i^{(m)}$ ) y es denso en $\mathbb R^2$ porque $A_i\subset S_i$ . Sin embargo, debo admitir que no tenemos $\mathbb R^2=\bigcup S_i$ todavía, es decir, el conjunto $$Y=\mathbb R^2\setminus\bigcup S_i$$ no tiene por qué estar vacío.