cambio de variables en el problema de contorno de la integración

Question

En esta respuesta: http://math.stackexchange.com/a/282675/65097, vemos que

$$\int_{-\infty}^{\infty} \: \frac{t^2}{t^4+1} dt = \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} dx$$

del cambio de variables $x = t^2$.

Esta es una pregunta tonta pero, cómo los límites cambió de $0$ $\infty$ % se $-\infty$$\infty$.

Answer 1

Antes de cambiar las variables, se debe reducir a la mitad el intervalo:

$$\int{-\infty}^{\infty} dt \: \frac{t^2}{t^4+1} = 2 \int{0}^{\infty} dt \: \frac{t^2}{t^4+1}$$

Ahora cambiar las variables: $t = \sqrt{x}$, $dt = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$

El resultado sigue.