Análisis Folland Real 7.3

Question

Deje $X$ ser el único punto de compactification de un conjunto con la topología discreta. Si $\mu$ es una medida de Radón en $X$, entonces supp($\mu$) es contable.

Así que si me deje $X^*$ ser el único punto de compactification (que supongo es $X \cup \left\lbrace \infty \right\rbrace $), entonces mi espacio topológico es $(X^*, P(X^*))$.

Sé dos cosas acerca de la compatibilidad de $\mu$ desde la anterior tarea problema:

1) $supp(\mu)$ es el complemento de a $N$ donde $N$ es la unión de todos los $U \in X^*$$\mu(U) = 0$.

2) $x \in supp(\mu)$ fib $\int f d\mu > 0$ por cada $f \in C_c(X^*, [0,1])$ tal que $f(x) > 0$

Sin embargo, ninguno de esos parecen sugerir algo acerca de los countability de apoyo. Supongo que si yo podría mostrar sólo hay countably muchos $x \in supp(\mu)$, de modo que la condición 2 se mantiene, entonces que iba a funcionar. Pero yo no veo ninguna manera de hacer tal cosa. Condición 1 parece más fácil trabajar con, pero no parece implicar countability a todos

Answer 1

$\mu $ es el Radón en el compactification $X $ (que es compacto!). Por lo tanto, es una medida finita.

Deje $A = \rm {supp}(\mu) $ y deje $X_0$ el conjunto de los cuales, $X $ es el compactification. Ahora, para$x \in A \cap X_0$,$\mu (\{x\})>0$, ya que de lo contrario, $B := A \setminus \{x\} $ sería un sistema cerrado(!) subconjunto de $X $$\mu (B^c)=0$. Este usa $\mu (A^c)=0$.

Ahora, hemos demostrado $$ A \cap X_0 = \bigcup_n \{x \in A \cap X_0 \mid \mu (\{x\})> 1/n\} $$ y desde $\mu $ es finito, por lo que es de cada conjunto de la unión. Esto muestra que $A $ es contable.