El colector que permite la función con dos puntos críticos es esfera

Question

Los únicos colectores cerrados que permiten una función con dos puntos críticos (quizás degenerados) son las esferas. En la dimensión 2 es bastante fácil de probar , pero ¿qué hay de las dimensiones más altas?

Answer 1

Topológicamente, la respuesta es sí, pero en la categoría suave la respuesta es no. Milnor proporcionó los primeros ejemplos de esferas topológicas que no son difeomórficas de la esfera estándar. Su argumento de que son esferas topológicas usa el hecho de que hay funciones Morse con dos puntos críticos. Esta página de wikipedia debería ayudarte a comenzar.