¿Son mis valores correctos para este Trapezoidal y de Simpson ' problema de regla de s?

Question

$$ \int^5_0 100x \sqrt{125 - x^3} $$

Usando la regla Trapezoidal, área = 9370

Usando la regla de Simpson, área = 8969

Si mis valores son incorrectos, me puede proporcionar usted con el trabajo que yo hacía y que podemos encontrar donde me equivocaba. La razón por la que estoy dudando de mis respuestas es porque no parece haber una diferencia bastante grande. (400).

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Para la regla Trapezoidal hice lo siguiente

1. Conectado en el valor de x de 0 a 5 para obtener los valores de y.
2. Yo, a continuación, ir de $x_1 - x_0 * \frac{y_0 + y_1}{2}$ e iterar hasta que llego a 5.
3. Puedo tomar la suma de los valores

No pude averiguar cómo conseguir una mesa para trabajar, pero las matemáticas, fue algo como esto:

[0,1] $(1-0)*\frac{1114-0}{2}$ = 557

[1,2] $(2-1)*\frac{1638-1114}{2}$ = 1638

y así todo el camino, hasta 5. Luego he añadido el área para obtener aproximadamente 9370

Para la Regla de Simpson este es mi trabajo

1. Enchufado en los valores de x para obtener mis valores
2. Aprovecho $y_1 + (4*y_2) + y_3$ I, a continuación, hacer esto cuando x = 0, 2 y 4.
3. Me sume los resultados anteriores para obtener aproximadamente 8969

Answer 1

Si usted sólo quiere comprobar sus respuestas, usted puede buscar en la Regla de Simpson de la Calculadora y Regla Trapezoidal de la Calculadora.

Con $n=4$, la Regla de Simpson es
$$I\approx\frac{h}{3}(f(x_0) + 2f(x_2) + 4(f(x_1) + f(x_3)) + f(x_4))$$ donde $h=\frac{5-0}{4}$ es un intervalo.

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Te voy a mostrar una forma sencilla de escribir la expresión con n=6, es decir, seis subintervalos.
Tenga en cuenta que con seis subintervalos hay siete puntos en los que se calculan los valores, $x_0, x_1, \cdots, x_6$.

Escribe la expresión con los siete función de las evaluaciones:
$$\frac{h}{3}(f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) + f(x_6)).$$ Entonces, no incluyendo la primera y la última de las evaluaciones, escribir en la alternancia de los factores de $4$$2$: $$\frac{h}{3}(f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + 4f(x_5) + f(x_6)).$$ Y eso es todo. La cosa importante a recordar es que cuando se establece $n$ es el número de subintervalos, y que el número de puntos es $n+1$.

Answer 2

En orden para que todo esto sea valiosa, usted necesita para hacer una de dos cosas: 1) aumentar el número de puntos para estar seguro de que algún tipo de convergencia que está sucediendo, y/o 2) calcular el valor exacto de la integral, si es posible.

Para 2), resulta que a ser posible. Considere la posibilidad de

$$\int_0^a dx \: x \sqrt{a^3-x^3} = a^{7/2} \int_0^1 dx \: x \sqrt{1-x^3}$$

Sustituto $u=1-x^3$, $x=(1-u)^{1/3}$, $dx = -(1/3) (1-u)^{-2/3} du$:

$$\int_0^a dx\: x \sqrt{a^3-x^3} = a^{7/2} \int_0^1 du \: u^{1/2} (1-u)^{-1/3}$$

La última integral es una función beta, por lo que la integral es igual a

$$\int_0^a dx\: x \sqrt{a^3-x^3} = a^{7/2} \frac{\Gamma{\left ( \frac{3}{2}\right )}\Gamma{\left ( \frac{2}{3}\right )}}{\Gamma{\left ( \frac{13}{6}\right )}}$$

Al $a=5$, entonces la integral es $\approx 103.303$. El original de la integral es $100$ veces esta, o acerca de la $10330.3$.

Ahora que se realiza este paso, aumentar el número de puntos en su trapezoidal y de Simpson regla de aproximaciones. Están convergiendo para este resultado? Recuerde que hay algunos divertidos comportamiento de el integrando en $x=5$ (tangente vertical), por lo que incluso si aumenta, usted no puede aumentar la exactitud. Recordemos también que sólo porque hay una gran diferencia en la trapezoidal y de Simpson aproximaciones, esto no significa que usted está equivocado.

Ahora, para las aproximaciones. Vamos a considerar la regla trapezoidal para $n$ puntos de:

$$\text{trap}(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{5 n-1} f(k/n)$$

donde $f(x)=100 x \sqrt{125-x^3}$. He hecho una tabla de valores de$1$$10$:

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 9370.83 \\ 2 & 9994.64 \\ 3 & 10148.8 \\ 4 & 10213. \\ 5 & 10246.6 \\ 6 & 10266.8 \\ 7 & 10280. \\ 8 & 10289.2 \\ 9 & 10295.9 \\ 10 & 10301. \\ \end{array} \right)$$

Tenga en cuenta que, tal como hemos establecido en nuestra línea de base con el resultado exacto, nos puede sentirse bien acerca de este resultado. Su aproximación corresponde a $n=1$ y, por tanto, era un poco off, pero correcto para el nivel de aproximación buscada.

Usted puede hacer lo mismo para la regla de Simpson, excepto que usted debe dividir los pares y los impares puntos numerados:

$$\text{simp}(n) = \frac{2}{3 n} \sum_{k=1}^{(5 n-1)/2 - 1} f(2 k/n) + \frac{4}{3 n} \sum_{k=1}^{(5 n-1)/2} f((2 k-1)/n)$$

El resultado de $n=1$ $10$es

$$\left( \begin{array}{cc} 1. & 8969.49 \\ 2. & 8456.51 \\ 3. & 10056.9 \\ 4. & 9617.21 \\ 5. & 10202.2 \\ 6. & 9932.71 \\ 7. & 10252.7 \\ 8. & 10069. \\ 9. & 10277. \\ 10. & 10142. \\ \end{array} \right)$$

Nota el comportamiento oscilatorio. De nuevo, porque hemos establecido una línea de base, sabemos lo bueno que la aproximación es. El resultado corresponde a $n=1$, y es correcto, sólo un muy bajo nivel de aproximación.