Un Tetraedro Regular es un Poliedro genial.

Question

Un tetraedro regular tiene esta propiedad:

Para cualquier par de sus vértices existe un tercer vértice, que forma un triángulo regular con estos 2 vértices (no necesariamente tiene que ser una cara de él).

¿Existen otros poliedros que tengan la misma propiedad?

Creo que no hay tal poliedro. Pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. He intentado demostrar que no hay un tetraedro irregular con esta propiedad, asumiendo que hay un par de lados desiguales.

Las respuestas actuales están un poco confundidas con las condiciones del problema.

Answer 1

Prueba de esquema (suponiendo que 'triángulo regular' = triángulo equilátero):

Considere un poliedro con la propiedad establecida. Contendrá tres vértices A, B y C en las esquinas de un triángulo equilátero.

Un cuarto vértice que forme un triángulo equilátero con cada par de vértices tomados de este conjunto solo puede ocupar dos posiciones. Ambas de estas posiciones - llámelas D y E - forman un tetraedro regular con A, B y C, por lo que el tetraedro regular es el único poliedro de 4 vértices con la propiedad.

Para preservar la propiedad en relación con A, B y C, un quinto vértice debe ocupar la posición D o E (la que no fue elegida para el cuarto vértice).

Pero la bípode con vértices en A, B, C, D, E no satisface la propiedad, porque ADE no es un triángulo equilátero.

Por lo tanto, no existen poliedros con la propiedad que tengan 5 o más vértices.

Answer 2

El tetraedro regular no es el único poliedro con esta propiedad. Se puede formar una bípade triangular de manera que el segmento de línea entre cualquiera de sus dos vértices sea parte de un triángulo equilátero de tres vértices. Para la base, toma un triángulo equilátero con longitud lateral $3/2$. Luego añade un vértice con una altura de $1/2$ encima del centro, y otro vértice a una distancia de $1/2$ debajo del centro. Entonces los vértices están a una distancia de $1$ de cada vértice del triángulo base, y también a una distancia de $1$ entre sí.

Aquí tienes un conjunto de coordenadas para los 5 vértices de esta bípade: $$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},0,0\right), \left(\frac{-\sqrt{3}}{4},\frac 3 4,0\right), \left(\frac{-\sqrt{3}}{4},\frac{-3}{4},0\right), \left(0,0,\frac 1 2\right), \left(0,0,\frac{-1}{2}\right). $$ Aquí tienes una animación de los segmentos de línea entre estos vértices.

Cada uno de los $\binom{5}{2} = 10$ segmentos de línea entre dos vértices está en uno de los tres triángulos equiláteros azules, o en el triángulo equilátero verde.

Answer 3

Esta no es una respuesta muy buena: solo se aplica si los triángulos regulares son todas las caras. Lo dejaré aquí por si puede ayudar a alguien. Por favor, ten la amabilidad de no votar negativamente

(1) Sean F, E y V el número de caras, aristas y vértices en un poliedro.

(2) Consulta http://www.math.ku.edu/~jmartin/courses/math409-S13/polyhedra.pdf para la demostración de que E <= 3V - 6.

(3) Ten en cuenta que una propiedad aún más fundamental implícita en tu afirmación es que cada par de vértices forma una arista (solo es verdad si el triángulo debe ser una cara). Siendo así, $E = ^VC_2$ = $V(V-1)/2$.

(4) Combina (3) y (2) para obtener 0 >= $V^2 - 7V +12$. La igualdad se cumple para V = 4 (tetraedro) pero no se puede satisfacer para V > 4.