Prueba de que la conexión es operador local.

Question

Recientemente he tratado de estudiar la Geometría de Riemann mediante John Lee el libro de Riemann Colectores : Una Introducción a la Curvatura. Hay un ejercicio sobre la realización de la prueba en el Lema 4.1. Se trata de mostrar que una conexión es un operador local. Ya he hecho eso, pero yo no estaba realmente seguro de que mi prueba es válida, debido a que es un poco diferente con la prueba de que he visto en el libro o en otra fuente como esta :

https://idv.sinica.edu.tw/ftliang/diff_geom/*diff_geometry(I)/10.30/connectio1.pdf

La idea de la prueba de Lee el libro y que es de referencia para la construcción de un cero de la sección de $Y$ multiplicando con un suave golpe de la función $\varphi : M \rightarrow \mathbb{R}$ apoyado en $U$$\varphi(p)=1$. Por lo $\varphi Y \equiv 0$ todos los $M$. Por lo tanto, por la linealidad $\nabla_X(\varphi Y)|_p = \nabla_X(0.\varphi Y)|_p = 0. \nabla_X(\varphi Y)|_p = 0$, producto de la regla de da $0 = \nabla_X(\varphi Y)|_p = (X\varphi )(p)Y_p + \varphi(p) \nabla_X Y|_p = 0+ 1.\nabla_X Y|_p = \nabla_X Y|_p$.

Cuando estoy tratando de probarlo, soy termina con diferentes pruebas, pero yo no seguro de su validez. En lugar de construir de cero sección $\varphi Y \equiv 0$, me parece la expresión de $\varphi Y \equiv Y$, y, a continuación, utilizando los mismos pasos para completar la prueba.

Aquí está el problema : Deje $\mathscr{T}(M)$ espacio de suave campos vectoriales y $\mathscr{E}(M)$ ser el espacio de secciones suaves en $M$. Deje $\nabla : \mathscr{T}(M) \times \mathscr{E}(M) \rightarrow \mathscr{E}(M)$ ser una conexión en un bundle $E$. Mostrar que $\nabla$ es un operador local. I. e si $X \in \mathscr{T}(M), Y \in \mathscr{E}(M)$, muestran que $\nabla_X Y|_p = 0$ si $Y$ se desvanece en un nbhd $U$$p$. También se $\nabla_X Y|_p = 0$ si $X$ se desvanece en un nbd $U$$p$.

Aquí está mi prueba para la primera parte, $\nabla_X Y|_p = 0$ si $Y$ se desvanece en un nbhd $U$$p$. : Debido a que el colector $M$ es Hausdorff, por lo tanto todos los singeton debe ser un subconjunto cerrado. Por lo tanto, $M \smallsetminus \{p\}$ está abierto. Debido a $U$ es un subconjunto abierto que contiene a$p$, $M \smallsetminus U$ es cerrado. Ahora elija un suave golpe función de $\varphi$ $M \smallsetminus U$ apoyado en $M \smallsetminus \{p\}$. Debido a $\varphi \equiv 1$ $M \smallsetminus U$ y supp $\varphi \subset M \smallsetminus \{p\}$, $\varphi Y \equiv Y$ en todos los $M$. Por lo $\nabla_X Y|_p = \nabla_X (\varphi Y)|_p = (X \varphi)(p) Y_p + \varphi(p)\nabla_X Y|_p = 0$. La segunda eq. de producto de la regla, y los términos en el lado derecho es cero porque Y se desvanece en $U$ y supp $\varphi \subset M \smallsetminus \{p\}$. La prueba para que la segunda parte está utilizando idea similar.

Es esto válido ? Gracias.

Answer 1

Para todos los campos vectoriales suaves $X$, $\nabla_X$ es un operador lineal sobre el espacio de secciones suaves. Por lo tanto, si $Y$ es la sección cero, $\nabla_X Y=0$.

Lo que usted necesita para comprobar, a continuación, es que el $\nabla$ es de hecho un operador lineal. Que la prueba depende de la definición de $\nabla$ le ha dado.

En algunos libros (especialmente en introductorio de la geometría de Riemann libros) $\nabla$ es dado axiomáticamente (por ejemplo, se comprueba la linealidad de los axiomas y de la regla de Leibniz). Más avanzadas de la geometría de los libros, es un caso especial de exterior derivada covariante con respecto a una forma de conexión en un principal de haz (donde la linealidad de la $\nabla$ natural).

Lo que acabo de decir es cierto a nivel global y local. Considere un conjunto abierto $U$ como submanifold (es decir, un colector) y usted es todo fija si desea obtener propiedades locales.