Funciones de álgebra que se relacionan con números reales

Question

Si la función de $f$ satisface la ecuación de $f(x+y)=f(x)+f(y)$ por cada par de números reales $x$$y$, ¿cuáles son los posibles valores de $f(0)$?

A. Cualquier número real
B. Cualquier número real positivo
C. $0$ $1$ sólo
D. $1$ sólo
E. $0$ sólo

La respuesta para este problema es la E. Para el siguiente problema para encontrar la respuesta que tienes que conectar en 0 para probar la función?

Answer 1

La sustitución de valores solo confirmará que$f(0) = 0$ es un valor igual a$f(0)$, por ejemplo, cuando$x = y = 0$.

La sustitución de$x = y = 0$, por ejemplo, nos da:

ps

Ahora, verificamos si$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) \implies 0=f(0)$ debe ser $f(0)$ y ningún otro valor :

Supongamos que$0$ donde$f(0) = a$.

Entonces$a\in \mathbb{R}$ $

$$a = f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) = a + a =2a $$$a = 2a\implies a =0$ f (0) $.

Entonces$ is the only possible value of $ es el único y satisfactorio valor de$0$

Answer 2

Sí, úsala para$x=y=0$:$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) \implies 0=f(0)$ $

Answer 3

Supongamos que $f(0) = c$ $c$ Dónde está cualquier número real. \begin{align} c &= f(0) \ &= f(0 + 0) \ &= f(0) + f(0) \ &= c + c \ &=2c \end{Alinear }

Esto nos indica que $c = 2c$ lo $c=0$ es el único valor posible.

Answer 4

Sólo para agregar a la Colección anterior, si el espacio del vector es $V$:

$$f(v)=f(v+0)=f(v)+f(0)\Longrightarrow f(0)=0$$

para cualquier $v\in V$