Convergencia de la serie de poder$\sum \left(\frac{n^n}{n!} x^n \right)$

Question

Encontrar el radio de convergencia de la serie

$$\sum \frac{n^n}{n!}x^n $$

y analizar la convergencia absoluta y/o uniforme.

Lo que he hecho:

• Es fácil demostrar que el radio de convergencia de esta serie es $R=\frac{1}{e}$. A continuación, la serie de convergencia absoluta y uniformemente en el intervalo de$\; \left(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e} \right)$

• El análisis de la convergencia en $x=\frac{1}{e}$ (ver aquí), la serie no comverges.

• El análisis de la convergencia en $x=\frac{-1}{e},$ el de Dirichlet prueba dice que la serie converge, si yo no hago nada malo, utilizando la misma aproximación factorial hemos visto antes

Tengo algunas preguntas acerca de lo que he hecho y la diferencia entre la absoluta y convergencia uniforme.

1. Desde la convergencia uniforme habla sobre la serie de funciones, creo que no hace sence para "analizar la convergencia uniforme" st el intervalo de extremos. Es eso correcto?Pero sí, tiene sentido hablar de convergencia uniforme en $[-\frac{1}{e}, \frac{1}{e})$! Estoy confunden acerca de esta parte.

2. Creo que la respuesta final debe ser que la serie converge absoluta y uniformemente en el intervalo de convergencia y converge en el intervalo de convergencia y de $x=\frac{1}{e},$ si yo no hago nada malo.

Espero que mis preguntas son claras. Gracias por su ayuda!

Answer 1

El radio de convergencia $r$ $\sum a_nx^n$ está dada por: $$ r^{-1}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n} $$ Por aproximación de Stirling: $$ e=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{e^n}{e\sqrt{ n}}\right)^{1/n}\leq\limsup_{n\to\infty}\left(\frac{n^n}{n!}\right)^{1/n}\leq\lim_{n\to\infty}\left(\frac{e^n}{\sqrt{2\pi n}}\right)^{1/n}=e $$ Por lo tanto,$r=1/e$. La serie converge absolutamente para $|x|<1/e$ y converge uniformemente en compactos subconjunto de $]-1/e,1/e[$. Desde que la serie converge, como el PO, dijo, para $-1/e$, también converge uniformemente en cualquier subconjunto compacto de $[-1/e,1/e[$ (sólo escoger el mayor $N$ de los dos como en $n>N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon, \forall x\in]-1/e,1/e[$ y en $x=-1/e$).

La serie no es uniformemente convergente en $[-1/e,1/e[$, de lo contrario, $|\sum_{k=n}^mf_k(x)|\leq\varepsilon$ $f_k(x)= \frac{k^k}{k!}x^k,\forall n,m>N, \forall x\in [-1/e,1/e[$ (uniformemente de cauchy=uniformemente convergente en $\mathbb R$);$x\to 1/e$, ya que el $f_k(x)$ son todas continuas, $|\sum_{k=n}^mf_k(1/e)|\leq\varepsilon$. Llegamos a la conclusión de que la serie converge para $x=1/e$, lo cual es una contradicción.

En mi entendimiento intuitivo, ya que la serie de golpes en $x=1/e$, no se puede tener una convergencia uniforme como $x$ enfoques $1/e$.