Mapas de evaluación y coevaluación de un TQFT

Question

En Lurie "En la Clasificación Topológica de Campo de las Teorías", afirma en la Proposición 1.1.8 que para una orientada compacto colector $M$ y un TQFT $Z:\mathrm{Cob}(n)\to \mathrm{Vect}_k$, hay un perfecto maridaje $Z(\overline{M})\otimes Z(M)\to k$ donde $\overline{M}$ denota $M$ con la orientación opuesta. En la prueba de esto, él menciona la facilidad definido mapa de $\alpha:Z(\overline{M})\to Z(M)^\vee$ donde $^\vee$ denota el espacio dual, que se basa en la evaluación mapa procedente de la cobordism $M\coprod\overline{M}\to\emptyset$ asociado a $M\times[0,1]$. Él tiene la intención de describir su inverso $\beta:Z(M)^\vee\to Z(M)^\vee\otimes Z(M)\otimes Z(\overline{M})\to Z(\overline{M})$ como un compuesto de la coevaluation mapa de $\emptyset\to M\coprod\overline{M}$ ( $k\to Z(M)\otimes Z(\overline{M})$ ), seguido por el emparejamiento bilineal de $Z(M)$ con su doble. Él entonces dice que "la aplicación juiciosa de los axiomas para una topológico de la teoría de campo, se puede deducir que $\beta$ es una inversa de a $\alpha$."

Estoy teniendo problemas para ver que esto es así. Buscando tal vez un poco de ayuda, no necesariamente a toda prueba aquí, pero cualquier cosa que se agradece? Es inútil buscar en los elementos de los espacios vectoriales teniendo en cuenta que en realidad no sabemos mucho acerca de lo que está pasando allí? Esto es un completamente pruebas categóricas, y si es así, que "axiomas" debo estar mirando más de cerca, la coherencia para el tensor de functors?

Gracias!

Answer 1

Bueno, lo primero un poco de notación. Vamos $V=Z(M)$, $V'=Z(\overline{M})$ y $V^\vee=Hom(V,k)$, es decir, el espacio dual de $V$. Ahora, queremos muestran, básicamente, un isomorfismo entre el$V'$$V^\vee$.

Recordemos que tenemos los siguientes mapas en $\mathrm{Cob}(M)$:

$e:M\coprod\overline{M}\to\emptyset$

$c:\emptyset\to\overline{M}\coprod M$

$1_M:M\to M\coprod\overline{M}\coprod M\to M$ y

$1_\overline{M}:\overline{M}\to \overline{M}\coprod M\coprod \overline{M}\to \overline{M}$

donde los dos últimos mapas son composiciones de $c$ $e$ y son iguales a la identidad por el texto de Dylan que se hace referencia (es decir, una especie de S en forma de colectores, o Zorro del lema?).

A partir de estos morfismos tenemos lineal mapas en $\mathrm{Vect}_k$ (yo solo uso $c$ $e$ y la categoría en la que queda claro de contexto):

$e:V\otimes V'\to k$

$c:k\to V\otimes V'$

$1_V:V\to V\otimes V'\otimes V\to V$

$1_{V'}:V'\to V'\otimes V\otimes V'\to V'$.

Por $eval$ $coev$ denotamos el estándar de evaluación y coevaluation mapas asociados a $V$ y su doble. Recordemos que estos mapas también satisfacer triángulo de las desigualdades parecida a la anterior.

Desde $e$ define un emparejamiento bilineal en $V\otimes V'$, podemos definir a la $\alpha:V'\to V^\vee$ tal que $v'\mapsto e(-,v')$.

Luego podemos definir un mapa de $\beta=(1_{V^\vee}\otimes c)\circ (eval\otimes 1_{V'}):V^\vee\to V^\vee\otimes V\otimes V'\to V'.$ Nos muestran que $\beta\circ\alpha=1_{V'}$$\alpha\circ\beta=1_{V^\vee}$. Esto se desprende de los siguientes diagramas, que son fáciles de ver para ser conmutativa:

$V'\overset{\alpha}\longrightarrow V^\vee\overset{1_{V^\vee}\otimes c}\longrightarrow V^\vee\otimes V\otimes V'\overset{eval\otimes 1_{V'}}\longrightarrow V'$

$\downarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow_{\alpha\otimes 1_{V}\otimes 1_{V'}}~~~~~\uparrow$

$\searrow\overset{1_{V'}\otimes c}\longrightarrow\longrightarrow V'\otimes V\otimes V'\overset{e\otimes 1_{V'}}\longrightarrow\nearrow$

$V^\vee\overset{1_{V^\vee}\otimes c}\longrightarrow V^\vee\otimes V\otimes V'\overset{eval\otimes 1_{V'}}\longrightarrow V'\overset{\alpha}\longrightarrow V^\vee$

$\downarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow_{1_{V^\vee}\otimes 1_{V}\otimes\alpha}~~~~~~~~~~~~~~\uparrow$

$\searrow\overset{1_{V^\vee}\otimes coev}\longrightarrow V^\vee\otimes V\otimes V^\vee\overset{eval\otimes 1_{V^\vee}}\longrightarrow\nearrow$

Lo siento por los terribles composición tipográfica.