Clases de Stiefel-Whitney y elevadores de grupos de estructura

Question

Deje $M$ ser un equipo compacto, liso de Riemann colector con la tangente bundle $TM$. Yo no se distingue entre el $TM$ y el asociado $O(n)$-marco de paquete. Creo que las siguientes afirmaciones son verdaderas, pero si no lo son, por favor me corrija.

1) Una orientación de $M$ es un equivariant elevación de $TM$ $SO(n)$- bundle en virtud de la inclusión natural $SO(n) \hookrightarrow O(n)$. El único obstáculo para la existencia de la orientación de $M$ es el primer Stiefel-Whitney clase $w_{1}(TM) \in H^{1}(M, \mathbb{Z} _{2})$. Por otra parte, si existe, entonces el conjunto de orientaciones es una $H^{0}(M, \mathbb{Z} _{2})$-torsor.

2) Un giro de la estructura en una orientada al colector es un equivariant elevación de la $SO(n)$-paquete de orientado a marcos en $TM$ bajo la natural proyección de $Spin(n) \rightarrow SO(n)$. El único obstáculo para la existencia de un giro de la estructura de un colector es la clase de $w_{2}(TM) \in H^{2}(M, \mathbb{Z}_{2})$. Por otra parte, si existe, entonces el conjunto de spin estructuras es una $H^{1}(M, \mathbb{Z}_{2})$-torsor.

Son estos fenómenos, naturalmente, de alguna manera relacionados? ¿Cómo se puede ver esto? ¿Existen algunos "estructuras superiores" en la tangente paquete de modo que la mayor Stiefel-Whitney clases son obstáculos para su existencia?

He estado tratando de empujar a esta analogía aún más y se dio cuenta de que $SO(n) \rightarrow O(n)$ es el universal destinatario de grupo homomorphisms desde conectado grupos topológicos $G$ a $O(n)$. Por otra parte, al hacer referencia a la teoría, $Spin(n) \rightarrow SO(n)$ es el universal destinatario de grupo homomorphisms de 1-conectado topológicos, grupos G $SO(n)$. No tengo idea de cómo ampliar este punto de vista es más, puesto que $\pi_{2}$ siempre se desvanece para Mentir grupos, en particular, se desvanece para $Spin(n)$.

Answer 1

Hay estructuras superiores sobre el vector de paquetes, pero el patrón de obstrucciones ser Stiefel-Whitney clases termina con girar las estructuras. He publicado una respuesta pertinente en MathOverflow.

Usted está empujando la analogía en la forma correcta. La correspondiente construcción aquí es el de Whitehead, la torre de la ortogonales grupo. Yendo un paso más en la Whitehead torre mata a la menor homotopy grupo. Ahora no podemos seguir recibiendo finito-dimensional que cubren los grupos una vez que llegamos a $\mathrm{Spin}(n)$ en la Whitehead de la torre por $\mathrm{O}(n)$, pero podemos obtener un infinito-dimensional $3$conectados a la Mentira de grupo $\mathrm{String}(n)$. A continuación, una estructura de la cadena en un giro del vector paquete es una elevación de la estructura del grupo a través de $B\mathrm{String}(n) \longrightarrow B\mathrm{Spin}(n)$. La obstrucción a la existencia de una estructura de la cadena no es un Stiefel-Whitney clase como la analogía puede sugerir, pero es en lugar de que las fracciones de Pontrjagin clase $\tfrac{1}{2}p_1$.

Usted puede ir un paso más allá y formar la $7$conectado a la cubierta $\mathrm{Fivebrane}(n)$$\mathrm{String}(n)$. A continuación, un fivebrane estructura en una cadena de vectores paquete es una elevación de la estructura del grupo a través de $B\mathrm{Fivebrane}(n) \longrightarrow B\mathrm{String}(n)$. La obstrucción a la existencia de un fivebrane de la estructura de una cadena de vectores paquete es la fracción de Pontrjagin clase $\tfrac{1}{6}p_2$.