Mostrando cómo Prime Factorization ayuda a resolver problemas

Question

Necesito algunos problemas concebible por alumnos de la escuela media, que no son fáciles de resolver a menos que la factorización en primos de un número es conocido.

Un ejemplo: no Es fácil saber si $n$ puede ser representado como suma de dos cuadrados o no, pero si sabemos lo que es la factorización prima de $n$, entonces es muy fácil para resolver el problema (a través de Fermat dos cuadrados teorema). Aquí no es importante que los alumnos puedan comprender la prueba del teorema. El propósito es mostrar cómo la descomposición en factores primos ayuda a resolver el problema.

Answer 1

No es exactamente un problema, más de una curiosidad o un truco, pero tal vez esto va a calificar:

"Elegir un aleatorios de 3 dígitos como el 379. Repita para hacer 379379. Si ahora divida este número por 7, entonces la respuesta por 11, a continuación, la respuesta a los 13 años, cada división funciona exactamente (sin resto) y la respuesta final es el número que eligió primero - ¿por qué funciona esto?"

Explicando esto, simplemente depende de conocer la factorización $1001 = 7 \times 11 \times 13$ (pero se ha sabido mantener a los estudiantes de secundaria perplejo y entretenerse un rato).

Answer 2

Problema: Encuentra la suma de los divisores de un gran número.

Hay una fórmula simple si conoce la factorización prima.

Answer 3

Problema: Encuentra los divisores de un gran número.

Hay una respuesta simple si conoce la factorización prima.

Tome, digamos,$n=2^{103}-1=10141204801825835211973625643007$. Ver encriptación RSA.

Answer 4

Usted podría probar algo de exponencial diophantine problemas, porque el cambio en el exponente de los cambios de divisibilidad condiciones exactamente por el solo primefactors.

Por ejemplo, aquí sólo algunos de los p&d ejemplo, puede $2^{4k}-1$ alguna vez se dividen $2^{4j+1}-1$ ? Esto puede ser respondidas cuando se mira en el primefactorizations de $f(n) = 2^n-1$ y el ciclo de longitud de la divisibilidad de la función de los números primos. A continuación, $2^{4k}-1$ es siempre divisible por $5$ ("la longitud del ciclo" 4) sino $2^{4j+1}-1$ nunca por la misma razón. Observaciones similares pueden hacerse para todos los involucrados primefactors.
Entonces uno puede formular problemas que ocultar que el simple principio un poco más, se puede decir $16^n-1 $ alguna vez se dividen $3 \cdot 81^j-1$ o similares.

Comentario: tal vez encontrar a mi pequeña treatize en subgrupos cíclicos, que específicamente se analiza exponencial diophantine problemas expresados por sus primefactor-descomposición de inspiración para crear su propio (y más significativo/mejor) ejemplos. Se trata de un manuscrito inacabado, pero aún así...