Demostrar que $\frac{g(x)}{\ln(1+x)}$ es integrable sobre $[0,1].$

Question

Pregunta : Dejemos que $f$ sea una función medible sobre $[0,1]$ tal que $$g(x) = |f(x)| \ln(1+x)$$ es integrable en Lebsegue sobre $[0,1].$ Demostrar que $f$ es integrable en Lebesgue sobre $[0,1]$

Así que la pregunta nos pide que demostremos que $$\int_0^1 |f(x)|\, dx = \int_0^1 \frac{|g(x)|}{\ln(1+x)}dx$$ es finito.

Sin embargo, creo que la pregunta no es correcta. Está claro que $g(x) = 1$ es integrable en Lebesgue sobre $[0,1],$ como $$\int_0^1 |g(x)| \, dx = 1,$$ pero $$\int_0^1 \frac{1}{\ln(1+x)}dx,$$ basado en Wolfram Alpha no es finito. Así que $f$ no es integrable en Lebesgue sobre $[0,1].$

¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

Su razonamiento es correcto: intuitivamente, podría ser gracias a que $\ln(1+x)$ va a $0$ como $x$ va a cero que $g$ es integrable mientras que $f$ solo no lo es.

El ejemplo $f\colon x\mapsto 1/\ln(1+x)$ muestra esto. Es cierto que $\int_0^1 \frac{1}{\ln(1+x)}\mathrm dx$ es divergente, pero esto requiere una justificación matemática. Esto se debe al hecho de que $\lim_{x\to 0}\ln(1+x)/x=1$ y la divergencia de $\int_0^1 \frac{1}{x}\mathrm dx$ .