Demostrar

Question

<h3>Problema</h3> <p>Prueba $$\lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!}=0~~~(a>0).$ $</p> <h3>A prueba de</h3> <p>Indicar $x_n=\dfrac{a^n}{n!}$ donde $n=1,2,\cdots.$ entonces $$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{a^n}=\frac{a}{n+1}\to 0~~~(n \to \infty)$$which implies the series $ \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n $ is convergent, by the ratio test. It follows that $% $$\lim_{n \to \infty}x_n=0,$que es condición necesaria para la serie convergente positivo.</p>

Answer 1

Sí es correcto, tenga en cuenta también que la prueba de proporción trabaja para secuencias de positivo y no tenemos que considerar la serie, es decir

$$\lim{n\to \infty}\frac{x{n+1}}{x_n}=\begin{cases}L1 \implies x_n\to \infty\L=1 \quad \text{we can't conclude}\end{cases}$$

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Como alternativa, sólo para jugar, podemos utilizar el

$$\frac{a^n}{n!}=e^{n\log a-\sum_{k=1}^{n} \log k} \to 0$$

hecho por aproximación integral

$$\sum_{k=1}^{n} \log k \sim \int_1^n \log x dx =n\log n-n+1$$

y por lo tanto

$$n\log a-\sum_{k=1}^{n} \log k\sim -n\log n+n(1+\log a)\to -\infty$$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} = \exp a \in \mathbb{R}$$

por lo que la serie converge en particular y $\frac{a^n}{n!} \to 0$.

Answer 3

Sí, podemos dar otra prueba por el teorema del apretón.

Si $0<a luego="">$$0

Si $a \geq 1.$ entonces existe un entero $k \geq 1$ tal que $k \leq a

$(1)$ Y $(2)$, hemos terminado!

</a>

Answer 4

podemos forzar una mentira entre (k, k +1) y aplicar el teorema del sandwich.

Answer 5

Además, también podemos utilizar principio limita la monotónica.

Observe que $$x_{n+1}=x_n\cdot \frac{a}{n+1},\tag 1$$which implies that ${x_n}$ is decreasing when $n > a-1$. And ${x_n}$ has a lower bound, for $x_n > 0$. Thus, ${x_n}$ has a limit, which can be denoted as $x$. Therefore, taking the limits of both sides of $ 1$, we obtain an equation $$x=x\cdot 0,$$which gives $x = 0$. Este es el límite de lo que queremos.