Dejemos que $f(x)=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right) \log \left(\frac{x+3}{4}\right)-\sqrt{x} \log (x)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^3 \sqrt{x}}$ , donde $x>0$ y el $\log$ es el logaritmo natural (con base $e$ ). Mi pregunta es cómo demostrar que tiene una raíz única.
Intenté muchas formas, como tomar su derivado. Sin embargo, su derivada parece ser aún más complicada e intratable.
También sé que $x=9$ es una raíz, pero no tengo idea de cómo mostrar su singularidad.
También he trazado la función, sin embargo, esto no es una prueba de todos modos.
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Puedes probar con el valor intermedio ya que la función es continua. Demuestra que la función es antitono hasta el mínimo y luego isotono pero el límite para el infinito es menor que cero.
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$x=1$ es una raíz de su ecuación.
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@Dr.SonnhardGraubner, $x=1$ no es una raíz. $\lim_{x\to 1} f(x)=1/16$ .
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@Dr.SonnhardGraubner En $x=1$ el numerador se convierte en cero.
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@EuklidAlexandria He intentado demostrar lo que mencionas tomando la derivada de $f$ . Sin embargo, la derivada parece aún más intratable. $f'(x)=\frac{6 \left(x^{3/2}-2 x+\sqrt{x}\right)-3 \left(4 x^{3/2}+x^2+2 x+12 \sqrt{x}-3\right) \log \left(\frac{x+3}{4}\right)+3 x (x+3) \log (x)}{2 \left(\sqrt{x}-1\right)^4 x^{3/2} (x+3)}$ .
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$\lim_{x\to 1} f(x)=\frac 18$
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@ClaudeLeibovici tienes razón. Es $1/8$ .
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Cuando $x$ es grande, $f(x) \sim -\frac{2\log(2)}{x^{3/2}}$