¿Cuál es el significado físico de los bucles de Wilson?

Question

Soy un matemático que intenta obtener una intuición física muy básica sobre las teorías gauge, así que pido disculpas si lo que sigue es realmente ingenuo. Mi primera pregunta super elemental es:

¿Estoy en lo cierto al pensar que en la magnetoestática, el bucle de Wilson para un curva simple no es más que la exponencial del flujo magnético a través de cualquier superficie delimitada por esa curva?

Esto parece obvio pero nunca lo he visto escrito explícitamente así que me temo que me estoy perdiendo algo obvio. Ahora, por supuesto, esto es especial para el electromagnetismo porque el grupo gauge es abeliano (de ahí la holonomía de la forma $A$ que describe el potencial magnético es exp de la integral de $A$ a lo largo de la curva, que por el teorema de Stokes es la integral de $dA$ sobre cualquier superficie delimitada por la curva), y por lo que entiendo las teorías clásicas no abelianas de Yang-Mills no describen del todo ninguna física "real", todavía:

¿Tienen los bucles clásicos de Wilson algún tipo de significado físico?

Los bucles de Wilson siguen estando bien definidos para los bucles autointerseccionados. Pero si lo entiendo bien, al pasar a la imagen cuántica utilizando la formulación de la integral de Feynman hay algún problema de "regularización", y una forma de solucionarlo es dotar a la curva en cuestión de un encuadre, que en particular obliga a considerar sólo los bucles simples. Esto se explica muy bien en el artículo de Witten sobre el polinomio de Jones y, en cierto modo, es la razón por la que los invariantes de los nudos de Chern-Simons no son triviales (que, como habrás adivinado, es la razón por la que estoy haciendo esas preguntas).

¿Existe alguna explicación intuitiva/física de por qué los bucles cuánticos de Wilson sólo están bien definidos en curvas simples? Ya me interesaría una respuesta en el caso abeliano, ¿quizás algo relacionado con el hecho de que en ese caso es sólo para curvas simples que las clásicas están relacionadas con el flujo magnético?

Editar Me doy cuenta de que mi pregunta era poco clara, sobre todo porque no sé utilizar la jerga con precisión. Por "bucle cuántico de Wilson" me refería realmente a su valor de expectativa en el vacío. ¿Existe una explicación sencilla de lo que significa esta cantidad? Ahora bien, esto tiene, creo, una divergencia cuando se toma el límite a medida que el tamaño del bucle llega a 0. Para el bucle de Wilson clásico para un determinado $A$ Esto da básicamente la intensidad de campo en el punto que es el límite de la espira. Según tengo entendido, la razón por la que el VEV es divergente en esa situación, es que no tiene mucho sentido físicamente medir el campo en un punto. Más bien, todo lo que podemos hacer es medir el flujo que atraviesa un bucle muy pequeño cerca de ese punto, y de alguna manera la física cuántica es sensible a eso. ¿Tiene esto sentido? ¿Existe una explicación similar de por qué el VEV de un bucle de WIlson diverge para los bucles que se autointerceptan?

Answer 1

Soy un físico en formación que no sabe nada de matemáticas, así que espero tener buenas respuestas ingenuas para tus preguntas ingenuas.

¿Estoy en lo cierto al pensar que en la magnetoestática, el bucle de Wilson para una curva simple no es más que la exponencial del flujo magnético a través de cualquier superficie delimitada por esa curva?

Sí, para un bucle de Wilson puramente espacial es perfectamente correcto. Para un bucle de Wilson temporal, como uno situado en el $zt$ avión, en su lugar se obtiene $$\int E(z, t) \, dz dt$$ que, a grandes rasgos, integra la diferencia de potencial entre los dos lados temporales del bucle a lo largo del tiempo.

¿Tienen los bucles clásicos de Wilson algún tipo de significado físico?

El bucle cuántico de Wilson produce la fase que una partícula cuántica recoge al dar la vuelta al bucle, pero la fase cuántica no es más que la acción clásica en la cáscara. Por lo tanto, el bucle de Wilson espacial indica el coste de la acción adicional para una trayectoria espacial cuando hay un campo magnético alrededor. Es más complicado hablar de un bucle de Wilson temporal, ya que una sola partícula clásica no puede retroceder en el tiempo, pero se puede utilizar para comparar las acciones de dos partículas clásicas que comienzan y terminan en el mismo lugar.

Tras la cuantización, el caso espacial nos da la fase de Aharanov-Bohm, mientras que el caso temporal nos da simplemente la dinámica $e^{-iEt/\hbar}$ fase en la que la energía $E$ incluye el potencial eléctrico.

¿Existe alguna explicación intuitiva/física de por qué los bucles cuánticos de Wilson sólo están bien definidos en curvas simples?

Si se pregunta si se puede entender esto de forma clásica, creo que la respuesta es no. Witten afirma que esta restricción tiene que ver con la regularización de efectos inherentemente cuánticos. No creo que la inaplicabilidad del teorema de Stokes tenga realmente nada que ver con ello, ya que puedes seguir aplicándolo si divides la curva en trozos simples.

Answer 2

1. Sí, el teorema de Stokes:

$$e^{i \int_{\partial D} A} = e^{i \int_D dA}.$$

2. Los bucles de Wilson miden la fase de Aharonov-Bohm de una partícula sonda infinitamente masiva.

3. Es posible considerar redes de bucles de Wilson en TQFT 3d. Véase este documento . Sin embargo, no es obvio cómo hacerlo en la teoría de Chern-Simons.