Sobre la propiedad universal de las topologías inicial y final

Question

Recientemente he visto en mi curso de topología que si $X$ es un conjunto cualquiera,

1. Dada una familia de funciones $\{f_i : X \to Y_i\}_{i \in I}$ con $(Y_i, \tau_i)_i$ espacios topológicos, la topología inicial en $X$ con respecto a esta familia es la generada por $\{f_i^{-1}(U_i) : i \in I, U_i \in \tau_i \}$ que es el más grueso de manera que las funciones $f_i$ son continuos, y verifica $h : Z \to X$ continua si y sólo si $f_ih$ es continua para todo $i$ en $I$ .

2. De forma similar, dada una familia $\{f_i : Y_i \to X\}_{i \in I}$ la topología final $\tau$ en $X$ se define por $U \in \tau $ si y sólo si $f_i^{-1}(U) \in \tau_i \ (\forall i \in I)$ . Esta es la topología más fina que permite que la familia sea contínua, y $h : X \to Z$ es continua si y sólo si $hf_i$ es para todos $i \in I$ .

También se mencionó que el recíproco de ambas afirmaciones es verdadero, es decir, que si un espacio topológico $(X, \tau)$ verifica $h : Z \to X$ (resp. $h:X \to Z$ ) continua si y sólo si $f_ih$ (resp. $hf_i$ ) continua para todo $i$ para todos $h$ tiene la topología inicial (o final) con respecto a la familia $(f_i)_i$ .

Es fácil ver que tomar $h \equiv id $ que la topología dada $\tau$ es más fina/gruesa que la topología inicial/final, porque todas las funciones $f_i$ son continuos.

¿Alguna pista sobre cómo probar la otra inclusión?

Answer 1

Según la referencia de Theoretical Economist, una respuesta de Henno Brandsma indica que la otra inclusión se puede demostrar considerando también la identidad, pero cambiando las topologías en el dominio/codominio.

En el caso de $\tau$ siendo la topología inicial, sea $\tau'$ sea una topología tal que para cualquier función $h$ tenemos que $h$ continua si y sólo si $f_ih$ es continua para todo $i$ . Como dije en el post es fácil ver que cualquier otra topología que satisfaga esto es más fina que la topología inicial: la identidad en $(X, \tau')$ hace $f_i : (X,\tau') \rightarrow Y_i$ continua para todos $i$ y así $\tau'$ contiene la topología inicial, generada por preimágenes de conjuntos abiertos de la $Y_i$ a través de $\{f_i\}_i$ . Para ver que $\tau' \subseteq \tau$ es equivalente a demostrar que $(X,\tau) \xrightarrow{id} (X,\tau')$ es continua. Equivalentemente, podemos ver que cada composición

$$ (X,\tau) \xrightarrow{id} (X,\tau') \xrightarrow{f_i} Y_i $$

es continua, pero estos son los mapeos $f_i : (X,\tau) \rightarrow Y_i$ que por definición de $\tau$ debería ser continua, demostrando así la afirmación original.

El caso de la topología final es similar.

Answer 2

Que sea así $\tau$ es la topología en $X$ inicializado por el $f_i$ en el sentido de que una función $h:Z\to X$ es continua si $f_ih:Z\to X_i$ por cada $i\in I$ .

Además, que sea que $\tau'$ es la topología generada por la colección $\mathcal V=\{f_i^{-1}(U_i)\mid i\in I, U_i\in\tau_i\}$ .

Entonces, para cada espacio $(Z,\tau_Z)$ y cada función $h:Z\to X$ las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• $h:(Z,\tau_Z)\to (X,\tau')$ es continua

• $h^{-1}(f_i^{-1}(U_i))\subseteq\tau_Z$ por cada $i\in I$ y cada $U_i\in\tau_i$

• $f_ih:(Z,\tau_Z)\to (X,\tau_i)$ es continua para cada $i\in I$

• $h:(Z,\tau_Z)\to (X,\tau)$ es continua.

Aplicando esto en $\mathsf{id}:(X,\tau)\to(X,\tau')$ y $\mathsf{id}:(X,\tau')\to(X,\tau)$ encontramos que $\tau=\tau'$