Límite de cociente

Question

Hace poco me enteré de que cuando van a resolver el límite de un cociente, se tiene que dividir todo por el número más alto en el denominador, como este

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^2 - 4}}{x+5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 - \frac{4}{x^2}}}{1 + \frac{5}{x}} = 2.$$

Pero yo no entiendo muy bien cómo al $x \to - \infty$ , la respuesta cambia a $-2$, ya que al dividir todo por el más alto poder, se da $$\frac{\sqrt{4-\frac{4}{x^2}}}{1+\frac{5}{x}},$$ meaning that even if you put negative infinity in the place of $x$, it still only gives $0$ and leaves $2$ como la respuesta final.

¿Por qué la respuesta de cambio de a $-2$? Entiendo que debe ser $-2$ cuando miro el gráfico, simplemente no entiendo el álgebra parte de ella.

Answer 1

Estás cometiendo un error que es increíblemente común, porque se enseña muy mal en la escuela. El "secreto" es que $$ \ sqrt {x ^ 2} = | x |, $$ y no$x$. Cuando$x\geq0$ obtienes$x$, pero cuando$x<0$ obtienes$-x$.

En sus manipulaciones, escribió$$ \frac{\sqrt{4 x^2 - 4}}{x+5} = \frac{\sqrt{4 - \frac{4}{x^2}}}{1 + \frac{5}{x}} .$$ Try that "equality" with $ x = -10 $, por ejemplo.

Answer 2

Como @Martin Argerami, dijo, $\sqrt{x^2} = |x|$, y no $x$. Cuando se desea resolver un límite que tiene raíces cuadradas, tienes que hacer lo siguiente:

$\lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{4x^2-4}}{x+5}=\sqrt{\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-4}{(x+5)^2}}$

La razón por la que podemos hacer esto, es que cuando $x\to \infty$ el denominador es positivo, el numerador es positivo, por lo tanto toda la respuesta es positiva. Nuestra respuesta es en virtud de una raíz cuadrada que significa que nuestra respuesta es consistente. (la raíz cuadrada de un número real es no negativo). Sin embargo, cuando se $x\to -\infty$, se puede decir que el resultado es negativo, ya que el numerador es positivo y el denominador es negativo. En otras palabras: $x + 5 = - \sqrt{(x + 5)^2}$, debido a $|x + 5| = -(x + 5)$. Así: $\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2-4}}{x+5}=-\sqrt{\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^2-4}{(x+5)^2}}$

---

$ \lim \sqrt{f(x)^2} = \pm \lim f(x)$

Answer 3

$ \ dfrac {\ sqrt {4 \ cdot 5 ^ 2}} {5} = \ dfrac {\ sqrt {4 \ cdot 5 ^ 2}} {\ sqrt {5 ^ 2}} = \ sqrt {\ dfrac {4 \ cdot 5 ^ 2} {5 ^ 2}} = 2 $

$ \ dfrac {\ sqrt {4 \ cdot (-5) ^ 2}} {- 5} = \ dfrac {\ sqrt {4 \ cdot (-5) ^ 2}} {- \ sqrt {(- 5) ^ 2}} = - \ sqrt {\ dfrac {4 \ cdot (-5) ^ 2} {(- 5) ^ 2}} = -2 $

Si$x < 0$, entonces$x = -\sqrt{x^2}$.

$ \ dfrac {\ sqrt {4 \ cdot x ^ 2}} {x} = \ dfrac {\ sqrt {4 \ cdot x ^ 2}} {- \ sqrt {x ^ 2}} = - \ sqrt {\ dfrac {4 \ cdot x ^ 2} {x ^ 2}} = -2 $