¿Es la multiplicación de juegos que son equivalentes a los números bien definidos?

Question

Es bien sabido que si se toma la definición de surrealista de multiplicación y los intentos de generalizar a todos los juegos, el resultado no está bien definida, en la que no respeta la equivalencia de los juegos.

Lo que me pregunto es esto: ¿Qué pasa si tenemos en cuenta los juegos que son equivalentes a los números, tales como $\{*|*\}$, lo que equivale a $0$? O para decirlo de otra manera, lo que si tenemos en cuenta surrealista multiplicación, pero permitimos que representan a nuestros números en la no-numéricos maneras, tales como la representación de un $0$$\{*|*\}$?

Es la multiplicación bien definida (la equivalencia respetar) en este intermedio?

(Lo pregunto porque me di cuenta de que, a pesar de la multiplicación es bien definido para el imparcial de los juegos, no es bien definido para los juegos equivalente a un procedimiento imparcial de los juegos. Me pregunto si algo similar sucede con los números, o si no queda bien definido; no he sido capaz de encontrar un contraejemplo.)

Gracias!

Answer 1

(el contraejemplo se ha trabajado en colaboración con Harry Altman. Todos los errores son míos)

El contraejemplo proporciona un juego de $K$ tal que $K=0$ pero $K^2\neq 0$. Aquí $\cong$ es la identidad de juegos, $=$ es Conway equivalencia y yuxtaposición (o, a veces,$\cdot$) indican Conway producto, y $K^2$$K \cdot K$.

Considere la posibilidad de $G \cong^{def} \{-1,0|0,1\}$$H \cong^{def} * \cong^{def} \{0|0\}$.

$G$ $H$ son Conway equivalente, y por otra parte $*+*=0$, por lo tanto $K\cong^{def} G + H =0$.

Vamos a calcular

$* \cdot * \cong *$

$GH \cong G \cdot * \cong \{*|*\} =0 $

$K^2 \cong (G+H)(G+H) = G^2 + GH + HG + H^2 = G^2 + \{0|0\}$.

Teniendo en cuenta las opciones de la izquierda $-1$, $0$ en la definición de los Conway producto $G \cdot G$ obtenemos que

$ G \cdot (-1) + 0 \cdot G - 0 \cdot (-1) = -G = G = * $

es una opción de $G^2$; del mismo modo

$G =*$ es un derecho de opción de $G^2$.

No hay necesidad de calcular por completo $G^2$ a ver que $G^2 + \{0|0\}$ es el primer ganador del juego (por lo tanto no $=0$), desde el primer jugador siempre puede pasar en $G^2$ la elección de la opción equivalente a $*$. El segundo jugador a la izquierda para jugar con un juego equivalente a $*+*$, por lo que pierde.