¿Son "mayoría" de los aparatos en $\mathbb R$ ni abierto ni cerrado?

Question

Parece intuitivo para creer que la mayoría de los subconjuntos de a $\mathbb R$ son ni abierto ni cerrado.

Por ejemplo, si consideramos el conjunto de todos (abierto, cerrado, de medio abierto/cerrado) los intervalos, entonces uno puede probablemente que precisa de la noción de que "la mitad" de todos los intervalos de esta colección son ni abierto ni cerrado. (Si esta cantidad a una razonable definición de lo que significa para la mayoría de los subconjuntos a ser ni abierto ni cerrado podría ser un tema de debate.)

Si esta intuición es correcta, hay una manera de formalizar? Si no, ¿cómo podríamos formalizar su mal?

Para ser claro, estoy feliz por una justa interpretación amplia del término "más". Las interpretaciones naturales incluyen pero no están limitados a:

1. Medida de la teoría (por ejemplo, hay una medida natural en (a $\sigma$-álgebra en) el juego de poder de $\mathbb R$ que asigna insignificante medida a $\tau$?)
2. Topológico (por ejemplo, existe un natural de la topología en el juego de poder de $\mathbb R$ donde $\tau$ es pobre, o incluso nada densa?)
3. Conjunto teórico (por ejemplo, el juego de poder de $\mathbb R$ tiene mayor cardinalidad de a $\tau$?)

Aquí, $\tau$ es (obviamente) la topología Euclidiana.

En realidad, que la última versión de la pregunta entre paréntesis podría tener la respuesta más fácil: Vamos a $\mathcal B$ ser los conjuntos de Borel en $\mathbb R$. Tenemos que $|\tau| \le | \mathcal B | = | \mathbb R | < \left| 2^{\mathbb R} \right|$. (Para más detalles sobre la igualdad, consulte aquí. De una forma mucho más simple prueba, consulte esta respuesta.)

Hay maneras alternativas de hacer este preciso?

Answer 1

Puesto que cada subconjunto abierto no vacío de $\mathbb R$ puede ser escrito tiene una contable Unión de intervalos abiertos y el conjunto de todos los intervalos abiertos tiene el cardenal mismo como $\mathbb R$, el conjunto de todos los subconjuntos abiertos de $\mathbb R$ tiene el mismo cardenal como $\mathbb R$. Y ya que existe una biyección entre los conjuntos abiertos de $\mathbb R$ y cerrado, el conjunto de todos los subconjuntos cerrados de $\mathbb R$ también el cardenal mismo como $\mathbb R$. Así, en el sentido de fijar-teórica, más subconjuntos de $\mathbb R$ son ni cerrado ni abierto.