¿En qué medida están homeomorphisms sólo deformaciones?

Question

De fondo. Se dice a menudo que dos espacios son homeomórficos si, a grandes rasgos, un espacio puede ser continuamente deformada en el otro sin romper y pegar. Luego se hizo hincapié en que esto es más de un principio rector de un sólido hecho. De hecho, un bien conocido "contraejemplo" a esta heurística sería doble-trenzado cinta de Moebius $M$, que es homeomórficos para el cilindro $C$, pero cuando visualizamos los dos espacios en $\mathbb{R}^3$, nos encontramos con que no podemos deformar el uno en el otro sin que se rompa.

¿Por qué sucede esto? En un sentido esto es debido a que $\mathbb{R}^3$ no tiene suficiente espacio para la deformación; simplemente, no existe suficientes dimensiones para "desenredar" la doble giro sin que se rompa cosas. Esto nos lleva a la siguiente:

Cuestión preliminar. Supongamos que yo fuera a incrustar $M$ $C$ $\mathbb{R}^n$ para algunos un gran $n$. ¿Ya se puede deformar de uno a otro sin que se rompa o de pegar?

La respuesta resulta ser que sí, y de hecho creo $n = 4$ ya es suficiente. Si usted cuida para el sector informal de la prueba, leer; si no, desplácese hacia abajo a la parte principal. Vamos a empezar con una adecuada incorporación de una doble torsión.

Esta imagen se visualiza una incrustación de la doble torsión dentro de $\mathbb{R}^4$, donde las tres primeras dimensiones son espaciales, y la cuarta dimensión está representada por los colores diferentes. (La elección de los colores puede ser lamentable, pero yo no tenía ninguna otras plumas.) Ahora imagina mover a la izquierda de la tira' y el 'derecho de la tira" más cerca, como en el ejemplo.

Observe que el 'doble twist' empieza a parecerse a un bucle. Ahora, si pasamos las tiras aún más cerca, van a empezar a solapan espacialmente. Pero observe que los colores siguen siendo diferentes en la superposición de modo que no se rompan o encolado se produce. Ahora seguir adelante hasta que las dos tiras se superponen totalmente el uno al otro. En este punto, los colores se han alineado, por lo que el giro se ha convertido en un 'loop'.

Este bucle es indeseable, pero la solución a ese problema es simple. Durante el proceso en el que dejamos que las tiras se superponen, simplemente dejar que el tamaño del bucle de ir a cero. En el momento en que la superposición es completa (y los colores se han alineado), el tamaño del bucle alcanza, y como tal, el bucle se desvanecen por completo. 'QED'.

A nuestra pregunta principal. Vemos que nuestra contraejemplo no es un contraejemplo. Por lo tanto, podríamos preguntarnos si este es parte de un fenómeno general. Hagamos esto más preciso.

Deje $X$ ser un espacio topológico, y deje $f : X\to \mathbb{R}^n$ $g : X \to \mathbb{R}^n$ dos incrustaciones. Denotar por $\varepsilon_{n,m} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+m}$ la incorporación de la cual se envía un punto de $x$$(x,0)$. Vamos a decir $f$ puede ser deformado por incrustaciones en $g$, si existe un $m$ y un homotopy de $H : X \times I \to \mathbb{R}^{n+m}$ $\varepsilon_{n,m} \circ f$ $\varepsilon_{n,m} \circ g$tal que para todos los $t\in [0,1]$, el mapa de $H_t : X \to \mathbb{R}^{n+m}$ es un continuo de la incrustación.

Pregunta. Supongamos $X$ es un razonable espacio (es decir, un compacto manifold con frontera). Deje $f$ $g$ dos incrustaciones de $X$ algunos $\mathbb{R}^n$. Puede $f$ siempre ser deformado por incrustaciones en $g$?

Esta pregunta puede ser generalizados y especializados que, en muchas maneras, así que siéntase libre de cambiar algunos de sus detalles.

Answer 1

He aquí un teorema. Deje $X$ ser un subconjunto cerrado de $\newcommand{\R}{\Bbb R}\R^m$ $Y$ ser un subconjunto cerrado de $\R^n$. Deje $X$ $Y$ ser homeomórficos. Incrustar $\R^m$ $\R^n$ a $\R^{m+n}$ $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto (x_1,\ldots,x_m,0,\ldots,0)$ and $(y_1,\ldots,y_n)\mapsto (0,\ldots,0,y_1,\ldots,y_n)$. So we can think of $X$ and $$ Y como subconjuntos cerrados de $\R^{m+n}$. A continuación, los pares de $(\R^{m+n},X)$ $(\R^{m+n},Y)$ son homeomórficos.

Deje $f:X\to Y\subseteq\R^n$ ser un homeomorphism. Por el teorema de Tietze, esto se extiende a un mapa continuo $F:\R^m\to\R^n$. Ahora $(x,y)\mapsto(x,y+F(x))$ es un homeomorphism $\R^{m+n}\to\R^{m+n}$ de los que tomaron $X$ a la gráfica de $\Gamma$ de $f$. Por lo tanto, el par $(\R^{m+n},X)$ es homeomórficos a $(\R^{m+n},\Gamma)$. Considerando $f^{-1}:Y\to X$ da lugar $(\R^{m+n},Y)$ homeomórficos a $(\R^{m+n},\Gamma)$.

Este homeomorphism $(\R^{m+n},X)\to(\R^{m+n},\Gamma)$ es parte de un continua la familia de homeomorphisms $(x,y)\mapsto(x,y+tF(x))$.

Así que la respuesta a su pregunta es sí, por cerrados los subconjuntos de a $\R^n$ y la expansión en el ambiente del espacio Euclidiano de suficientes dimensiones.