La inclusión local implica incrustarse en un ultraproducto

Question

Estoy leyendo Gorbunov la "teoría Algebraica de quasivarieties" y no pueden probar que las declaraciones de algunos, que se supone que son obvias, creo. En primer lugar, aquí están algunas de las definiciones y notaciones.

Para un determinado $L$estructura $\mathcal{A}$, un subconjunto $X \subseteq A$ $L_X = L \cup \{c_x \colon x \in X\}$ denotar por $\mathcal{A}_X$ $L_X$- estructura, donde cada constante símbolo $c_x$ se interpreta como $x$.

El diagrama de $\mathcal{A}$ es el conjunto $D(\mathcal{A})$ de todos los atómica $L_A$-frases y sus negaciones que son satisfechos por $\mathcal{A}_A$. Se dice evidente en el libro, que

La proposición: $D(\mathcal{A})$ está satisfecho por $L_A$estructura $\mathcal{B}$ fib $a \mapsto c_a^{\mathcal{B}}$ es la incorporación de la $\mathcal{A}$ a $L$-reducto de $\mathcal{B}$.

Para una determinada firma de $L$ denotar por $\Gamma(L)$ la firma obtenida a partir de a $L$ mediante la sustitución de cada una de las $n$-ary funcional símbolo $f$ $(n+1)$- ary predicado símbolo $R_f$. La gráfica de $L$estructura $\mathcal{A}$ $\Gamma(L)$estructura $\Gamma(\mathcal{A})$ $A$ como el dominio, las relaciones son aquellas de las $\mathcal{A}$ y $R_f^{\Gamma(\mathcal{A})}$ por cada $n$-ary funcional símbolo $f \in L$ donde $(a_0, \dots, a_n) \in R_f^{\Gamma(\mathcal{A})}$ fib $f^{\mathcal{A}}(a_0, \dots, a_{n-1}) = a_n$.

Cualquier subestructura de $\Gamma(\mathcal{A})$ se llama un subgrafo de $\mathcal{A}$. Finito reducto de un número finito de subgrafo de $\mathcal{A}$ es llamada local subgrafo de $\mathcal{A}$.

$\mathcal{A}$ se dice localmente integrable en una clase de $\bf K$ $L$- estructuras de si en cada subgrafo de $\mathcal{A}$ es isomorfo a algunos locales subgrafo de $\mathcal{B}$ donde $\mathcal{B} \in \bf K$.

Yo no puedo obtener la prueba de la siguiente

Teorema: Si $L$estructura $\mathcal{A}$ es localmente integrable en la clase$\bf K$, entonces es integrable en algunos ultraproduct de $L$-estructuras de $\bf K$.

Prueba:

1. Local de incrustación implica que el diagrama de $D(\mathcal{A})$ es localmente conste en $\bf K$.

2. Por compacidad $D(\mathcal{A})$ está satisfecho por algunos ultraproduct de $L$-estructuras de $\bf K$.

Todos mis intentos de la prueba de la proposición o de una de las pruebas pasos conducen a una gran cantidad de escritura y parece realmente incorrecta porque creo que estoy confundiendo las notaciones para satisfiability, intepretations en diferentes firmas. Creo que de un diagrama como si escribimos todas las relaciones posibles entre los elementos de $\mathcal{A}$ explícitamente sin cuantificadores.

Preguntas:

1. ¿Por qué es la proposición acerca de la diagrama de satisfiability obvio? Yo: se supone que $D(\mathcal{A})$ está satisfecho por algunas de las $L_A$estructura $\mathcal{B}$. En particular, $\mathcal{B} \models \lnot(c_a = c_b)$, para cualquier $a, b \in A \colon a \neq b$, por lo tanto, este mapa es inyectiva. También se $\mathcal{B} \models c^{\mathcal{B}}_{f^{\mathcal{A}}(a_1, \dots, a_n)} = f^{\mathcal{B}}(c^{\mathcal{B}}_{a_1}, \dots c^{\mathcal{B}}_{a_n})$ para todos funcional símbolos y $a_1, \dots, a_n \in A$ $\mathcal{B} \models R^{\mathcal{B}}(c^{\mathcal{B}}_{a_1}, \dots, c^{\mathcal{B}}_{a_n})$ fib $(a_1, \dots a_n) \in R^{\mathcal{A}}$ por la definición del diagrama. Este mapa es el mismo. Por el contrario, si este mapa es la integración en $L$-reducto de $\mathcal{B}$. Creo que, aproximadamente, el mismo argumento debería ser aplicada aquí, pero esta prueba no parece riguroso para mí y no totalmente obvio. ¿Cuál es la manera correcta de ver la validez de esta proposición?

2. El primer paso de la prueba se me escapa. Tomar cualquier local subgrafo $\mathcal{A}_{loc}$$\mathcal{A}$. Creo que estoy supone que el uso de la proposición aquí y aquí están mis pensamientos. $\mathcal{A}_{loc}$ es isomorfo a algunos locales subgrafo $\mathcal{B}_{loc}$ algunos $\mathcal{B} \in \bf K$. En particular, es la incorporación, por lo $D(\mathcal{A}_{loc}) \subset D(\mathcal{A})$ es válido en $\mathcal{B} \in \bf K$. De nuevo, parece que no me entienden completamente las nociones del diagrama y satisfiability en diferentes firmas. Después de que tenemos que mostrar que cada subconjunto finito de $D(\mathcal{A})$ puede ser "modelada" por algunos de los locales subgrafo de $\mathcal{A}$.

3. Entiendo que a la conclusión de que la $\mathcal{A}$ es integrable en un ultraproduct de la segunda etapa de la prueba que necesito para utilizar la proposición. Pero en la proposición que estamos suponiendo que el $D(\mathcal{A})$ está satisfecho por la estructura de la firma de $L_A$, mientras que el ultraproduct tiene firma $L$, así que no sé cómo debo usar.

Pregunta principal: ¿Puede usted por favor mirar a través de mis intentos de explicar mí, cuando estoy mal, porque estoy seguro de que esto es debido a mi falta de comprensión de algunas nociones de arriba. Realmente quiero rigurosamente comprobar esta afirmación en orden a obtener una comprensión de todas estas nociones y relaciones entre la estructura y su diagrama y su satisfiability. Sería genial si alguien me explica cómo prooceed con probar (o al menos la comprensión de cada paso de la prueba, ya que me quedé atrapado porque mi razonamiento parece muy inexacta.

Lo siento por tal una pregunta larga, pero esto es debido a un gran número de definiciones. Espero que alguien que haya fina comprensión del modelo de la teoría de la tardará en comprender el punto de mi pregunta y ser capaz de ayudarme. Gracias de antemano!

Answer 1

Soy consciente de que este es un viejo post y que la cooperativa puede no estar interesado en una respuesta, pero él o de otra persona, así que:

Primero vamos a la dirección de la Proposición: Su enfoque para demostrar que $a \mapsto c_a^\mathcal B$ es una incorporación para cada $L_A$modelo $\mathcal B$ $D(\mathcal A)$ obras, pero como no parecen estar convencidos, permítanme explicar en mayor detalle:

Deje $\tau \colon A \rightarrow B, a \mapsto c_a^\mathcal B$.

Para los distintos $a,b \in A$ hemos $$\mathcal A_A \models \neg c_a \doteq c_b$$ and thus $$\mathcal B \models \neg c_a \doteq c_b$$, i.e. $\tau(a) = c_a^\mathcal B \neq c_b^\mathcal B = \tau(b)$. So $\tau$ es inyectiva.

Dado un $L_A$plazo t sin variables, tenemos: $$ \mathcal A_A \models t \doteq c_{t^{\mathcal A_A}}.$$ Ahora $$\mathcal B \models t \doteq c_{t^{\mathcal A_A}}$$ muestra que $$t^{\mathcal B} = c_{t^{\mathcal AA}}^{\mathcal B} = \tau(t^{\mathcal A_A}).$$

Como consecuencia de ello, tenemos que $\tau(\gamma^{\mathcal A_A}) = \gamma^\mathcal B$ y $$ \begin{eqnarray*}\tau(f^{\mathcal A_A}(a_1, \ldots, a_n)) &=& \tau ( (f c_{a_1} \ldots c_{a_n})^{\mathcal A_A}) \\ &=& (f c_{a_1} \ldots c_{a_n})^\mathcal B \\ &=& f^\mathcal B(\tau(a_1), \ldots, \tau(a_n)) \end{eqnarray*}$$ para todos la constante de símbolos $\gamma \in L_A$, $n$-ary función de los símbolos $f \in L_A$$a_1, \ldots, a_n \in A$.

También $$ \begin{eqnarray*} R^{\mathcal A_A}(a_1, \ldots, a_n) &\Leftrightarrow& \mathcal A_A \models R c_{a_1} \ldots c_{a_n} \\ &\Leftrightarrow& \mathcal B \models R c_{a_1} \ldots c_{a_n} \\ &\Leftrightarrow& R^\mathcal B(\tau(a_1), \ldots, \tau(a_n)) \end{eqnarray*} $$ para todos los $n$-ary relación símbolos -$R \in L_A$$a_1, \ldots, a_n \in A$.

Por lo tanto, $\tau$ es una incrustación $\tau: \mathcal A_A \rightarrow \mathcal B$.

Ahora, supongamos que para un $L_A$ estructura $\mathcal B$, $$\tau: A \rightarrow B, a \mapsto c_a^\mathcal B$$ es en realidad una incrustación $\tau: \mathcal A_A \rightarrow B$. Deje $\phi$ atómico $L_A$ frase. Hay dos casos:

1. $\phi = t_1 \doteq t_2$ $L_A$- términos de $t_1,t_2$ sin variables. Como $\tau$ es una incrustación, tenemos $\tau(t^\mathcal A) = t^\mathcal B$ todos los $L_A$-términos de $t$ sin variables y, por tanto (como $\tau$ es inyectiva) $$ \begin{eqnarray*} \mathcal A \models t_1 \doteq t_2 &\Leftrightarrow& t_1^\mathcal A = t_2^\mathcal A \\ &\Leftrightarrow& \tau(t_1^\mathcal A) = \tau(t_2^\mathcal A) \\ &\Leftrightarrow& t_1^\mathcal B = t_2^\mathcal B \\ &\Leftrightarrow& \mathcal B \models t_1 \doteq t_2 \end{eqnarray*} $$
2. $\phi = R t_1 \ldots t_n$ $n$- ary relación símbolo- $R \in L_A$ $L_A$- términos de $t_1, \ldots, t_n$ sin variables libres. Ahora $$ \begin{eqnarray*} \mathcal A \models R t_1 \ldots t_n &\Leftrightarrow& R^\mathcal A(t_1^\mathcal A, \ldots t_n^\mathcal A) \\ &\Leftrightarrow& R^\mathcal B(\tau(t_1^\mathcal A), \ldots, \tau (t_n^\mathcal A)) \\ &\Leftrightarrow& R^\mathcal B(t_1^\mathcal B, \ldots, t_n^\mathcal B) \\ &\Leftrightarrow& \mathcal B \models R t_1 \ldots t_n \end{eqnarray*} $$

Si $\phi \in D(\mathcal A)$, esto muestra $\mathcal A \models \phi \Leftrightarrow \mathcal B \models \phi$ y, por tanto,$\mathcal B \models D(\mathcal A)$.

---

Ahora, teniendo en cuenta el Teorema: Después de agitado de pensamiento acerca de los detalles, no quiero escribir ahora mismo, como el cálculo es bastante tedioso. Te voy a dar un esbozo en su lugar:

Hay un problema con la definición de subdiagramas. Si $\mathcal A$ contiene una infinidad de elementos distintos correspondiente a la constante de símbolos en $L$, no hay finito subestructuras de $\Gamma(\mathcal A)$, por lo tanto no hay locales de subdiagramas y el Teorema de la falla.

Usted debe decir que un subraph de $\mathcal A$ es un número finito de la subestructura de un número finito de reduct de $\Gamma(\mathcal A)$ lugar. A continuación, puede hacer lo siguiente:

Para cada finito $T \subset D(\Gamma(\mathcal A))$, vamos a $L_T \subseteq \Gamma(L)$ ser el más pequeño sublenguaje s.t. $T$ $L_T$- teoría. Deje $\mathcal A_T$ $L_T$- subestructura de $\Gamma(\mathcal A)$ consiste precisamente los elementos de $A$ correspondiente a los términos utilizados en $T$. Fijar una incrustación $\tau_T: \mathcal A_T \rightarrow \Gamma(\mathcal B)$, donde el último es considerado como un $L_T$-estructura. Si $\phi \in D(\mathcal A)$ $L(A)$ frase de que todos los elementos correspondientes a los términos utilizados en $\phi$ $A_T$ y toda relación-símbolos correspondientes a la función de los símbolos en $\phi$$L_T$, este isomorfismo de los rendimientos de $im(\tau_T) \models \phi$, donde formalmente nos vamos a $im(\tau_T)$ $L_T(A_T)$- la estructura a través de $c_a^{im(\tau_T)} = \tau_T(a)$$a \in A_T$.

El resto es análoga a la prueba del teorema de compacidad utilizando ultraproducts.