¿Qué significa esta notación en la definición del espacio dual?

Question

Esto es lo más claro definición de doble espacio dual Me he encontrado:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ . Sabemos que un espacio vectorial de dimensión finita $V$ es isomorfo a su espacio dual $V^*$ . Este isomorfismo no es "muy bonito" porque depende de la elección de la base. Sin embargo, hay un ejemplo de un isomorfismo "bonito" o natural entre dos espacios vectoriales. Se trata de un isomorfismo entre un espacio vectorial de dimensión finita $V$ y el espacio dual $V^{**}$ de su doble $V^*.$ El espacio $V^{**}$ se llama el doble (o segundo) dual de $V$ . Los elementos de $V^{**}$ son funcionales lineales de funcionales lineales lineales.

Dejemos que $v_0$ sea un vector en $V$ . Para cada $f \in V^*$ escribimos

$$v_0^*(f)=f(v_0)$$

En esta fórmula, $v_0$ es fijo (en $V$ ) y $f$ puede variar (en $V^*$ ), de modo que la fórmula define una función sobre $V^*$ .

Pero sigo sin entenderlo. En parte puede ser la notación:

¿Qué es? $v_0^*$ ¿y cómo se verbaliza la notación? La cita define $v_0$ como un vector en el original $V$ espacio vectorial. Eso está claro, aunque la necesidad del subíndice $0$ es simplemente molesto o su significado es oscuro. Pero nunca hay una definición de $v_0^*$ . Supongo que es algo parecido al "vector que se alimenta a $V^*$ de $V$ " (?), pero por supuesto luego viene el $(f)$ que se define como una función... y el castillo de naipes que hay dentro $v_0^*(f)=f(v_0)$ parece colapsar de nuevo.

Es esta cosa, $a_0^*(f)\in V^{**}?$

Pedir un ejemplo puede ser demasiado, pero descifrar la notación sería un buen punto de partida para empezar a pensar en el concepto.

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CONCLUSIONES (tras la respuesta aceptada, los comentarios y el estudio):

Inicialmente pregunté

cómo "verbalizar" $v_0^*(f)=f(v_0)$

lo que significa cómo "desempaquetar" este grupo... OK "Charlie Foxtrot" de la notación de super y sub-escritura en inglés. Esto es lo que estaba pensando como la respuesta ideal:

Significa: Cualquier vector dado en $V$ por ejemplo, $v_0 \in V$ se puede asignar de forma exclusiva a un elemento de $V^{**}$ correspondiente a una función en $V^*$ (que es un funcional que come funciones en el espacio de $V^*$ ). Esta función sobre $V^{*}$ puede llamarse $v_0^*$ .

Es decir, nuestro nuevo amigo, $v_0^*$ pertenece a $V^{**}$ pero lleva una sola estrella porque la estrella hace referencia a lo que "come" $(V^{*})$ no donde vive $(V^{**}).$ El autor tiene la amabilidad de arrojar el subíndice $0$ en $a_0^*$ por si acaso había alguien que todavía seguía en ese punto - licencia poética como en Edgar Allan Poe "Todo lo que vemos o parece no es más que un sueño dentro de un sueño". Pero divago. En cualquier caso, $a_0^*$ vive en el dual del dual, y como todo dual, es un funcional lineal. Así que una función de un espacio vectorial real a $\mathbb R.$

El paréntesis, $(f)$ parte $v_0^*(f)$ La idea es que lo que entra en el sistema funcional $a_0^*(\text{here})$ son los funcionales $(f)$ que viven en $V^*$ , enviando $V\rightarrow \mathbb R.$ Es redundante tener esto $(f)$ cuando ya indicamos la "dieta" de $a_0^*(f)$ con el asterisco en el superíndice? Por supuesto. Sin embargo, esta parte tiene sentido, al igual que $f(x)=\log x$ tiene sentido. Lo que es molesto es no haber suprimido el superíndice $*$ en $a_0^*$ . Se podría haber anotado como $L_v(f)$ ...ya sabes... $L$ para el funcional lineal, $v\in V,$ ... muy simple, pero arriesgando el aroma cabalístico de $a_0^*(f).$

BIEN. Así que en el lado derecho de la ecuación, que es más una definición, $:=f(v_0)$ sólo es poco inspirado a primera vista, siendo profundamente tramposo en el fondo: lo miras y puedes suponerle la función de... $f(\color{red}{v_0}),$ pero es mucho más diabólico... Aquí $v_0$ es fija, y la variable real es $\color{red}{f(\cdot)}.$

$v_0^*(f)=f(v_0)$ evalúa los funcionales en $V^*$ en $v_0$ que se mantiene fijo. Por lo tanto, las funciones de $V^*$ (espacio dual) son atravesados por el $a_0^*$ funcional en $V^{**}$ uno a la vez, mientras que $v_0\in V$ se mantiene igual.

Es en este sentido y mapa de evaluación . Así que si podemos dejar de lado la notación criptográfica en el párrafo citado, y llamar a la función en $V^{**}$ algo menos oscuro, $L_v(f)=f(v)$ , donde $f\in V^*$ y $v\in V$ podemos verlo como un mapa $L_v: V^*\rightarrow \mathbb R$ . Una vez que $v$ se fija, (saquemos ahora los subíndices) para decir, $v_0$ la función $L_{v_0}=f(v_0)$ es la función de evaluación.

Entonces, ¿cómo verbalizar esto? Claramente 'vee-nought-star' en $X^*.$ Como en la respuesta.

Podría ser más sencillo considerarlo como un doble par o notación de corchetes :

Si $V$ es nítidamente dimensional, existe un "mapa de paréntesis" natural $\phi > : V^ \times V \rightarrow \mathbb R$ dado por $\phi:( f,v) \mapsto > f,v.$ La expresión $\langle f,v \rangle$ es lineal en cada variable cuando la otra se mantiene xed. Si $f$ es xed, obtenemos una función lineal funcional $v \mapsto f(v)$ en $V,$ pero si x $v$ el mapa $f > \mapsto \langle f,v \rangle$ es un mapa lineal desde $V^ \rightarrow > \mathbb R,$ y por lo tanto es un elemento $j(v) \in V^{} =( V^)^,$ el "doble dual" de $V.$

Este último concepto está muy bien explicado aquí .

Answer 1

La línea mostrada es la definición de $v_0^*$ . Cada vector $v_0$ en $V$ determina un funcional lineal $v_0^*$ (que yo leo 'vee-nought-star') en $X^*$ es decir, un elemento $v_0^*$ de $V^{**}$ . Este $v_0^*$ es por tanto una función lineal de $V^*$ a $\Bbb R$ y se define por

$$v_0^*(f)=f(v_0)\tag{1}$$

para cada $f\in V^*$ . Es decir, su valor en el funcional lineal $f\in V^*$ es simplemente el valor de $f$ en $v_0$ .

Por supuesto, hay que verificar que la función de $V^*$ a $\Bbb R$ definido por $(1)$ en realidad es lineal, pero esto es bastante sencillo.

Answer 2

Podríamos definir una transformación lineal $\theta : V \to V^{**}$ mediante la ecuación

$$ \theta(v)(f) = f(v) $$

La notación aquí es recursiva; estamos definiendo la transformación lineal $\theta$ especificando su valor en cada $v \in V$ . A su vez, definimos el funcional lineal $\theta(v) \in V^{**}$ especificando su valor en cada elemento $f \in V^*$ .

Para recapitular, los tipos de cada subexpresión son

• $\theta : V \to V^{**}$
• $v \in V$
• $f \in V^*$ (de forma equivalente, $f : V \to \mathbb{R}$ )
• $\theta(v) \in V^{**}$ (de forma equivalente, $\theta(v) : V^* \to \mathbb{R}$ )
• $\theta(v)(f) \in \mathbb{R}$
• $f(v) \in \mathbb{R}$

Ahora bien, a algunas personas no les gusta utilizar la notación habitual de las funciones valoradas. Aquí, el autor está indicando la función mediante decoración - la notación del autor $v^*$ significa lo mismo que mi notación $\theta(v)$ .

Otra notación que se puede utilizar para esto es $v \mapsto (f \mapsto f(v))$ . Si se introduce algún valor $v_0$ en esta transformación lineal, se obtiene el funcional lineal $f \mapsto f(v_0)$ . (y si a continuación, se conecta algún funcional lineal $f_0$ en eso, se obtiene el número $f_0(v_0)$ )

Para algunos propósitos, la notación más conveniente es simplemente $v$ escrito a la derecha (en lugar de a la izquierda como "normalmente" son las funciones) - es decir, en lugar de interpretar rígidamente $f(v)$ como "la función $f$ evaluado en el valor $v$ ", tener la flexibilidad mental para verlo al revés " $v$ evaluado en $f$ ", o incluso "el 'producto' de $f$ y $v$ ", según sea necesario. En muchas situaciones, si puedes hacer esto, realmente no necesitas distinguir entre $V$ y $V^{**}$ por lo que no hay problema en utilizar la misma notación tanto para un elemento en $V$ y su correspondiente elemento de $V^{**}$ .

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La razón de $v_0$ Creo que el autor quiere que pienses en ella como una "constante vectorial no especificada" en lugar de una "variable con valor vectorial". En mi opinión, no hay una buena razón para hacerlo, pero puede haber algún aspecto de la elección de detalles finos en la gramática matemática o las opiniones filosóficas o pedagógicas del autor que le obliguen a hacerlo.

Answer 3

Permítanme empezar con un ejemplo diferente. Consideremos todos los mapas de un conjunto $X$ a $\mathbb{R}$ y empujarlos juntos en un conjunto, digamos $M(X,\mathbb{R})$ .

A este conjunto se le puede dar una estructura de espacio vectorial mediante $$ f+g\colon x\mapsto f(x)+g(x), \qquad \alpha f\colon x\mapsto \alpha f(x) $$ para $f,g\in M(X,\mathbb{R})$ y $\alpha\in\mathbb{R}$ .

Si $X$ tiene más estructura, entonces podemos identificar algunos subespacios útiles de $M(X,\mathbb{R})$ . Por ejemplo, si $X$ es un espacio métrico, podríamos considerar el continuo mapas, $C(X,\mathbb{R})$ ; si $X$ es una variedad diferenciable, podríamos considerar la infinitamente diferenciable mapas, $C^\infty(X,\mathbb{R})$ ; si $X$ es un espacio de medidas, podríamos considerar el integrable mapas $\mathscr{L}^1(X,\mathbb{R})$ o el integrable al cuadrado mapas $\mathscr{L}^2(X,\mathbb{R})$ .

Si arreglamos $x_0\in X$ tenemos un mapa interesante $e_{x_0}\colon M(X,\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ , definida simplemente por $$ e_{x_0}(f)=f(x_0) $$ ¿Adivina qué? Este mapa es lineal . Así que tenemos un mapa, el mapa de evaluación , $$ e\colon X\to\operatorname{L}(M(X,\mathbb{R}),\mathbb{R}) \qquad x_0\mapsto e_{x_0} $$ El codominio es el conjunto de todos los mapas lineales de $M(X,\mathbb{R})$ a $\mathbb{R}$ .

Sí, hay otro ejemplo de subespacio interesante que no he mencionado antes (a propósito). Si $X=V$ es un espacio vectorial entonces el conjunto de mapas lineales $V\to\mathbb{R}$ es un subespacio de $M(V,\mathbb{R})$ . Esto se suele denotar con $V^*$ El espacio dual de $V$ . Así que el mapa $e$ es $$ e\colon X\to M(X,\mathbb{R})^* $$

En todos los ejemplos anteriores, $e_{x_0}$ restringe a un mapa del subespacio "interesante" a $\mathbb{R}$ y así podemos definir un mapa de evaluación, digamos $$ e\colon X\to\operatorname{L}(C^\infty(X,\mathbb{R}),\mathbb{R})= C^\infty(X,\mathbb{R})^* $$ en el caso de que $X$ es una variedad diferenciable. O, cuando $X=V$ es un espacio vectorial, un mapa de evaluación $$ e\colon V\to\operatorname{L}(V^*,\mathbb{R})=(V^*)^*=V^{**} $$ Sí, en este caso el codominio es ahora el dual de $V^*$ . Y, ¿adivina qué? El mapa $e$ es lineal (lo cual es fácil de demostrar).

¿Cómo funciona el mapa? Exactamente igual que antes: al fin y al cabo es un caso particular: si $v_0\in V$ , $e(v_0)$ es un elemento de $V^{**}$ es decir, un mapa lineal $V^*\to\mathbb{R}$ ¿cuál? Como antes $$ e\colon V\to V^{**} $$ envía $v_0$ a $e_{v_0}$ que se define por $$ e_{v_0}(f)=f(v_0) $$ que es exactamente lo mismo que decir $e_{v_0}=v_0^*$ como en sus notas (aunque yo no usaría un $^*$ aquí, pero probablemente algo como $\widehat{v_0}$ ).

Deshaciéndonos de los ceros, tenemos un mapa $$ e\colon V\to V^{**},\quad v\mapsto e_v $$ donde $e_v(f)=f(v)$ .

Esto también puede verse como un bilineal mapa $(v,f)\mapsto f(v)$ , de $V\times V^*$ a $\mathbb{R}$ que también tiene algunos usos interesantes. Pero, concentrándonos en $e$ vemos que es inyectiva (siempre que aceptemos que todo espacio vectorial tiene una base) y un isomorfismo precisamente en el caso en que $V$ es de dimensión finita.