Intuición del determinante de Wronsk y la independencia lineal

Question

Me pregunto la intuición en relación a los siguientes; (deje $w$ representan el wronskian función).

Por favor me corrija Si me equivoco, pero voy a escribir lo que sé y lo que yo estoy confundido.

Supongamos que tenemos un conjunto de $n$ funciones diferenciables, dicen, $\{f_1,…f_n\}$ en algún intervalo abierto $I=(\alpha,\beta)$

Entonces, ¿por qué

si $$w(f_1,…,f_n)(x) \neq 0$$ for $\mathbf{algunos}$ $x \in I$, entonces ellos son linealmente independientes en el intervalo.

Pero, si $$w(f_1,…,f_n)(x)=0$$ for even one $x \in I$, entonces ellos son linealmente dependientes en el yo?

Es esto porque si es cero para x que podemos encontrar, esto implica que será igual a cero para todos los $x \in I$? ¿cómo podemos concluir de esto?

en lo que respecta a su relación con las ecuaciones diferenciales, ( que es la razón por la que actualmente estoy aprendiendo esto), entiendo que sería necesario $w \neq 0$ a tener una solución única, y también entiendo por qué tener una fila que es un múltiplo de la otra, da $w=0$ a partir de simple determinante reglas.

Pero estoy teniendo problemas para atar todo junto.

Gracias

Answer 1

Intuición:

Porque la Fórmula de Abel. indica que:$$W[y_1,\ldots,y_n]=Ce^h(x)$ $ Dado que$e^h(x)\neq 0$ la única posibilidad de$W=0$ es cuando$C=0$, por lo que$w=0$ siempre. La independencia lineal viene para el determinante de Wronskian, eche un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_identity .