Deje $\left( x^{(n)}\right)_{n=1}^{\infty} \subset \ell^p$ ser una secuencia de Cauchy. Ya que veo que tiene problemas con su notaciones de la secuencia de secuencias, esta es la notación que voy a utilizar para cada elemento $x^{(n)}$ en la secuencia:
$$
x^{(n)} = \left( x_j^{(n)}\right)_{j=1}^{\infty} = \left( x_1^{(n)},x_2^{(n)}, \cdots \right)\in \ell^p
$$
Para $x= \left( x_j\right)_{j=1}^{\infty} , y= \left( y_j\right)_{j=1}^{\infty} \in \ell^p$, permite definir el $p$norma $\| \cdot \|_p$ como el que induce $d_p$$\|x-y\|_p=d_p(x,y)$. Precisamente
$$
\|x-y\|_p= \left(\sum_{j=1}^{\infty} \left|x_j-y_j\right|^p\right)^{1/p}
$$
Ahora vamos a continuar, tome $\varepsilon>0$, entonces no existe un $N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$, de tal forma que si $m,n >N$
$$
\|x^{(m)} x^{(n)}\|_p<\varepsilon.
$$
Así, para cualquier $j \in \mathbb{N}$, se deduce que
$$
\left|x^{(m)}_j-x^{(n)}_j\right|^p \leq \sum_{j=1}^{\infty} \left|x^{(m)}_j-x^{(n)}_j\right|^p = \|x^{(m)} x^{(n)}\|^p_p<\varepsilon^p
$$
esto es, para cualquier $j \in \mathbb{N}$ la secuencia de $\left( x^{(n)}_j\right)_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R}$ es de Cauchy. Desde $\mathbb{R}$ es completa, para cada una de las $j$ existe una $x_j \in \mathbb{R}$ tal que
$$
\lim_{n \to \infty} x^{(n)}_j = x_j
$$
Permite corregir $k \in \mathbb{N}$, a continuación, en una manera similar para $m,n >N$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{k} \left|x^{(m)}_j-x^{(n)}_j\right|^p \leq \sum_{j=1}^{\infty} \left|x^{(m)}_j-x^{(n)}_j\right|^p = \|x^{(m)}-x^{(n)}\|^p_p<\varepsilon^p \tag{1}
\end{equation}
Dejando $n \to \infty$ en (1), obtenemos que para $m>N$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{k}\left|x^{(m)}_j-x_j\right|^p < \varepsilon^p \tag{2}
\end{equation}
A continuación, por la costumbre triángulo inecuality ( Minkowski de la desigualdad de la $\|\cdot\|_p$$\mathbb{R}^k$), llegamos a que si $m>N$
$$
\left( \sum_{j=1}^{k}|x_j|^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{j=1}^{k}\left|x^{(m)}_j-x_j\right|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{j=1}^{k} \left|x^{(m)}_j \right| \right)^{1/p} < \varepsilon + \left( \sum_{j=1}^{k} \left|x^{(m)}_j \right| \right)^{1/p}
$$
dejando $k \to \infty$, obtenemos $\|x\|_p\leq \varepsilon + \|x^{(m)}\|_p$, que es el mismo que conseguir que $x=\left( x_j\right)_{j=1}^{\infty} \in \ell^p$. De nuevo, dejando $k \to \infty$ en (2), obtenemos que si $m>N$
$$
\|x^{(m)} x\|_p^p= \sum_{j=1}^{\infty}\left|x^{(m)}_j-x_j\right|^p < \varepsilon^p
$$
así
$$
\lim_{m \to \infty} \|x^{(m)} x\|_p= 0
$$
de hecho, $\left( x^{(m)}\right)_{m=1}^{\infty} \subset \ell^p$, es una secuencia convergente que converge a $x \in \ell^p$. Concluimos entonces que el $\ell^p$ es un completo espacio métrico para $1\leq p < \infty$.
