Puede $\frac1{z^2}$ integrarse en $|z+i|=\frac32$ utilizando el teorema de Cauchy?

Question

$$ \begin{align} \int_{|z+i|=\frac{3}{2}}\frac{1}{z^2}dz=0 \end{align} $$

¿Se puede decir que la Integral es $0$ debido al Teorema de Cauchy?

¿Esto se aplica a cualquier $z_0$ que se encuentra dentro del círculo excepto el centro?

¿El hecho de que el denominador esté en un poder superior a $1$ ¿afecta a algo?

Answer 1

No, no se puede utilizar el Teorema de Cauchy en este caso, porque la función $f(z)=\frac{1}{z^2}$ no es analítico dentro del círculo $|z+i|=\frac{3}{2}$ (punto $z_0=0$ ).

Pero se puede utilizar el Teorema del Residuo de forma muy sencilla: la serie de Laurent para $f(z)$ en el punto $z_0=0$ sólo tiene un término, es $\frac{1}{z^2}$ por lo que el coeficiente cerca de $\frac{1}{z}$ es cero, por lo que el residuo en el punto $z_0=0$ es cero (sólo hay un punto problemático).

Answer 2

El integrando no es analítico en $0$ que se encuentra dentro del contorno de integración por lo que no podemos utilizar el thm de Cauchy.

La razón principal de tener $0$ como valor integral es que el integrando tiene una antiderivada en un dominio que contiene el contorno.

Si el integrando fuera 1/z obtendríamos $2\pi i $ (utilizando la fórmula integral de Cauchy versión extendida--deformación de los contornos).

Las potencias enteras más altas darían $0$ ya que todos tienen antiderivados.

Answer 3

La función $\frac{1}{z^2}$ es malo en el círculo dado, pero es bueno fuera del círculo (incluso en $\infty$ ). Esto sugiere que, después de cambiar la variable de exterior a interior, entonces hay una oportunidad de aplicar el teorema.