Integral de $\sin^3\left(\frac{x}{2}\right)\cos^7\left(\frac{x}{3}\right)$

Question

Tengo algunas dificultades para calcular la integral de $\sin^3\left(\frac{x}{2}\right)\cos^7\left(\frac{x}{3}\right)$ en $[4\pi,16\pi]$ . Conozco el método de poder impar en $\sin$ y $\cos$ pero este no es el mismo ángulo y no encontró la manera de superarlo. ¿Algún consejo, por favor?

Answer 1

Pista: Intenta que uno de los argumentos interiores sea igual al otro y utiliza la fórmula de adición o sustracción de ángulos para ampliarlo.

Answer 2

Sustituyendo $x=6t$ obtenemos $$ \int_{4\pi}^{16\pi}\sin^3\left(\frac{x}2\right)\cos^7\left(\frac{x}3\right)\,dx=6\int_{2\pi/3}^{2\pi+2\pi/3}\sin^33t\,\cos^72t\,dt\\=6\int_{0}^{2\pi}\sin^33t\,\cos^72t\,dt=6\int_{-\pi}^{\pi}\sin^33t\,\cos^72t\,dt $$ (nota que $\sin^33t\,\cos^72t$ tiene periodo $2\pi$ ). Ahora vemos que la integral es cero porque el integrando es impar.

Answer 3

He aquí un enfoque.

i) Utilizar la identidad

$$ e^{it}=\cos t+i\sin t .$$

ii) utilizar el teorema del binomio

$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} a^k b^{n-k}. $$